多元函数积分-曲面积分

八、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的实值黎曼可积函数，给定区间 $\displaystyle I \subset[-\pi, \pi], I$ 上的特征函数定义为：$\displaystyle \chi_{I}(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in I \\ 0, x \notin I\end{array}\right.$ ．如果 $\displaystyle I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{N}$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 中两两不交的子空间，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}$ 均为常数，且 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{N} I_{k}=[-\pi, \pi]$ ，那么我们称有限线性组合 $$ a_{1} \chi_{I_{1}}+a_{2} \chi_{I_{2}}+\cdots+a_{N} \chi_{I_{N}} $$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数． （1）证明：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 和 $\displaystyle \psi(x)$ ，使得 $$ \varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x), x \in[-\pi, \pi] . $$ 并且 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\varphi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon, \int_{-\pi}^{\pi}|\psi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$. （2）利用（1）中的结论证明： $$ \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (p x) \mathrm{d} x=\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0 $$ （3）将 $\displaystyle f(x)$ 延拓为 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的周期函数，延拓之后的函数仍记为 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的部分和 $\displaystyle S_{n}(x)$ 可以写成 $$ S_{n}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots $$ （4）在第（3）小题的条件下，再假设 $\displaystyle x_{0} \in(-\pi, \pi)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$上的唯一间断点，且存在极限 $\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x), B=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ， $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-A}{x-x_{0}}, \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-B}{x-x_{0}} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{A+B}{2}$ ．

4．证明 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 条件收敛。

7、求 $\displaystyle y=\arcsin (\cos x)$ 的傅里叶级数展开式。

16、用函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 说明偏导数连续并不是函数可微的必要条件．

五．（15 分）解答如下问题： （1）求函数 $\displaystyle f(x)=|x|, x \in[-\pi, \pi]$ 的傅里叶级数． （2）证明 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．

5．将函数 $\displaystyle f(x)=x(2 \pi-x), 0<x<2 \pi$ 展开成傅里叶级数并证明：$\displaystyle \pi^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6}{n^{2}}$ ．（20 分）

六、（16 分）把 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{\pi}{4}, & -\pi \leq x<0 \\ \frac{4}{4}, & 0 \leq x \leq \pi\end{array}\right.$ 展开成傅里叶级数，并由它推出 $\displaystyle \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ ．

1．证明：函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

1．讨论 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \arctan x}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x(n>0)$ 的收敛性；

五．（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ 的收敛域； （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3^{n+1}} x^{n}$ 的收玫域及和函数； （3）将 $\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上展开成余弦级数，并推出 $\displaystyle \pi^{2}=6\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots\right)$ ．

五、解答如下问题． （1）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}}(p>0)$ 的玫散性； （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n+1)!} x^{n}$ 的收敛域与和函数； （3）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 二阶连续可导的函数，证明：$f$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致收敛于 $f$ ．

4．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上周期为 $\displaystyle \pi$ 的函数，且在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上，有 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\pi}{2}+x, & x \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \\ \frac{\pi}{2}-x, & x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\end{cases} $$ 请将 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上展开为傅里叶级数，并由此求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ．

七．（15 分）将 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上傅里叶展开．

9．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数，$\displaystyle f(x)=x(\pi-x), x \in[0, \pi]$ ． （1）求 $\displaystyle f(x)$ 的余弦级数和正弦级数展开式． （2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)^{3}}$ ．

2．设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 1 ，左极限 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．证明：数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。举例说明：仅由 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 1 及左极限 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 存在不能断言数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收玫。

14．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛．

13．证明函数 $f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．

5、幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．

6．（20 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0) \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi)\end{array}\right.$ ． （1）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的 Fourier 展开式，并写出和函数； （2）计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ．

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，$\displaystyle a_{n}(n=0,1, \cdots), b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $f$ 的 Fourier 系数．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n}$ 均收敛。

3．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积．

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

六．（15分）解答如下问题： （1）求 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{x+3}{x-3}$ 的麦克劳林级数展开式，并讨论收玫区间． （2）求 $\displaystyle f(x)=x^{3}$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的余弦级数．

7、（20 分）求函数 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 上的傅里叶级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．

八、（15 分）设周期 $\displaystyle 2 \pi$ 的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上由 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \pi-x, 0<x \leq \pi \\ 0, x=0 \\ -\pi-x,-\pi<x<0 \end{array}\right. $$ 给出． （1）求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数． （2）证明（1）中的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，但不一致收敛．

八．将 $\displaystyle f(x)=1-x^{2}(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ ．

7．将 $\displaystyle f(x)=e^{x}(-\pi \leq x \leq \pi)$ 展开成傅里叶级数，讨论级数的收玫性，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2}}$ 的和．

九．（可能有误）求 $\displaystyle f(x)=e^{\sqrt{x}}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的傅里叶级数，并求级数的收玫函数以及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+2}$ 的值．

八、（15 分））设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的函数．定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x<1, \\ 0, & 1 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$的 Fourier 展开式，并利用此结果证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．

九、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的可积函数，且 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则成立 parseval 不等式： $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) $$ 这里 $\displaystyle a_{n} 、 b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数．

3．（15 分）已知函数 $$ f(x)= \begin{cases}A, & 0 \leq x \leq \pi \\ -A, & -\pi \leq x<0\end{cases} $$ 其中 $\displaystyle A \neq 0$ 为常数，求该函数在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶级数，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．

4．（10 分）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi^{2}-x^{2}}}$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的傅里叶级数展开式为 $$ f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) $$ 求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ．

三、将函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \text { 在区间 }[-\pi, \pi) \text { 上按傅里叶展开，并计算 } \\ -1, & x<0\end{cases}$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} $$

3．若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，能否得到级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫？反之，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，能否得到正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛？

四、将 $\displaystyle f(x)=x$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上展开为傅里叶级数并求和函数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n-1}$ 的和．

1．求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+x)^{x}-5^{x}}{x^{2}}$ ．

3．变上限积分 $\int_{0}^{x} t e^{t} d t=$ A． B． C． D．

6．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4} x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ ． （1）将 $\displaystyle f(x)$ 展开为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的 Fourier 级数，并计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ． （2）通过将 $\displaystyle f(x)$ 的 Fourier 级数逐项积分，计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．

六、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上二阶连续可微，且 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f^{\prime}(-\pi)=f^{\prime}(\pi)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的 Fourier 系数有如下估计： $\displaystyle \_\_\_\_$ 602科目名称： $\displaystyle \_\_\_\_$数学分析 $$ a_{n}=o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) ; b_{n}=o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) ;(n \rightarrow \infty)(10 \text { 分 }) $$

1．计算题 $\displaystyle \left(10^{\prime} \times 5=50^{\prime}\right)$ （1）求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\tan (\tan x)-\tan x] \cdot \tan x}{x^{4}} $$ （2）求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln \left(2+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{\ln \left(2+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\ln \left(2+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right) . $$ （3）将 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成关于 $x$ 的幂级数． （4）设隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle 3 x-x^{3}+2=y^{3}+3 y$ 确定，求 $\displaystyle y(x)$ 的极值． （5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x)=f(x+2 \pi)$ 且 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,-\pi \leq x<\pi$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式。

2．已知 $g(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，求 $g(\alpha)$ ．

3．求第二型曲面积分 $$ I=\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ ，取外侧．

2．设 $f(x)=\pi^{2}-x^{2}, x \in(-\pi, \pi]$ ，求 $f$ 的傅里叶级数展开式．

1．计算题 （1）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(x^{3}-x^{2}+\frac{x}{2}\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ． （2）将 $\displaystyle f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ 展开成余弦级数． （3）计算曲线 $\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ （4）计算二重积分 $\displaystyle \iint \mathrm{e}^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域。 （5）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，方向外侧。

八．已知 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，通过 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数表示 $\displaystyle f(x+h)$ 的傅里叶系数．

6、应该如何把给定在区间 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上的可积或绝对可积函数 $\displaystyle f(x)$ 延拓到区间 （ $\displaystyle -\pi, \pi)$ ，使得它的傅里叶级数展开式具有以下形式： $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{2 n-1} \sin ((2 n-1) x),(-\pi<x<\pi) $$