多元函数积分-应用

4．讨论积分 $\int_{1}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 在 $0 \leq \alpha<+\infty$（ $p>0$ 是常数）的一致收敛性．

七．讨论 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{a}{1+x^{2} a^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle \left[a_{0},+\infty\right)$ 和 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的一致收敛性，其中 $\displaystyle a_{0}>0$ ．

六、（15分）讨论广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1+x}{x^{p}} \sin \left(x^{3}\right) \mathrm{d} x$ 的敛散性． t、（15 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\left(n^{2}-n+1\right)$ 的和．

五，（10 分）考察 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{[(n+1)!]^{n-1}}{1!3!\cdots(2 n-1)!}$ 的敛散性。

十一，（15 分）研究 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x\right)^{p}$ 的绝对收敛性和条件收敛性。

十一、（15 分）研究 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ 的敛散性．

3．求积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．

4．求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数．

3．计算下列极限： （1） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ； （2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ； （3） $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}$

1．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．

1．讨论 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \arctan x}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x(n>0)$ 的收敛性；

七．（15 分）（1）判断 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdots(2 n-1)}{4 \cdot 6 \cdots(2 n+2)} $$ 的玫散性． （2）求 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots(2 n)}{1 \cdot 3 \cdots(2 n-1)}\left(\frac{1}{2} x-3\right)^{n} $$ 的收玫域． （3）判断 $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \int_{n}^{n+1} \frac{\ln (x+7)}{x} \mathrm{~d} x $$ 的敛散性（绝对收敛，条件收敛或发散）．

2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的无穷多个子列都收玫于 $a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a$ ．

2．讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $x>0$ 上的一致收敛性．

八、对参数 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty)$ ，讨论 $\displaystyle f_{n}(x)=n^{a} x e^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,1]$上的收敛性和一致收敛性．

六．讨论级数 $\displaystyle \frac{1}{1^{p}}-\frac{1}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{4^{q}}+\cdots$ 的绝对收敛与条件收敛性．

7．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域内连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，求证： $$ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \text { 的敛散性 } $$

五．（20 分）已知含参量积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x \mathrm{~d} x$ ． （1）对于 $\displaystyle \alpha \geq \alpha_{0}>0$ ，讨论 $I$ 的一致收敛性． （2）对于 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论 $I$ 的一致收敛性．

5．（20 分）讨论广义积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} x^{p-1} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的一致收敛性： （1）（ 10 分）$\displaystyle p \geq p_{0}>0$ ． （2）（ 10 分）$\displaystyle p>0$ ．

8．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^{p}+1}(p>0)$ 的敛散性．

5、幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．

3．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_{0}^{x} e^{\frac{t^{2}}{2}} d t-x}{x \ln (1+x) \arctan x}$ ．

5．讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，若收敛，判断绝对收敛或条件收敛。

五．（本题满分 15 分）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 的敛散性，其中 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，若收敛，指出为绝对收敛或条件收敛。

五、（20 分）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上一致收敛性和内闭一致收敛性．

3、设非负连续函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，证明： $$ F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t $$ 在 $[0,+\infty)$ 上是凸函数．

10．判别级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}} \quad(p>0) $$ 的敛散性。如果收敛，它是绝对收敛还是条件收敛？

6、（10 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ 的绝对收敛性和条件收敛性．

2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

7．（15 分）讨论下列广义积分的敛散性： （1）（ 7 分） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x}{1-e^{x}} \mathrm{~d} x$ ． （2）（ 8 分） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．

四、判断 $\displaystyle f(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{2} y\right)}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle y \in[0,+\infty)$ 中的一致收敛性．

10．设 $\displaystyle I(y)=\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x y}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ ． （1）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性． （2）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续性．

8．设 $\displaystyle a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)$ 的敛散性．

9．设 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$上的一致收敛性．

12、记作 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\ln \left(1+n^{\alpha} x\right)}{n^{\beta}},(x>0, \alpha, \beta>0)$ ． （1）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的玫散性． （2）在 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 收玫的基础上，论其一致收敛性． （3）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的可导性．

二．（15 分）解答如下问题： （1）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left[\ln \left(\tan \frac{1}{n}\right)\right]^{3}}$ 的玫散性． （2）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x(p \geq 0)$ 的敛散性．

3．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+t, \\ y=\ln (1+t),\end{array} \quad\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 与 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

6．（13 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{p}} d x$ 的收敛性和绝对收敛性．

5、讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{n}} d x$ 敛散性．

6、证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．

7、设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，说明在 $\displaystyle [0,1]$ 上的一致收敛性．

8．讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．

五．讨论参数 $p$ 对广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos \left(x-\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性影响，何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散？

5．$\oint_{C} \frac{y d x-x d y}{3 x^{2}+4 y^{2}}, C: 3 x^{2}+4 y^{2}=1$ ．（压中原题）

五．（15 分）已知 $\displaystyle p \in \mathbb{R}$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{p}}$ 的敛散性．

8．（15 分）判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．

4、讨论如下积分的敛散性： （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x,(p>0)$ ． （2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x,(p>0)$ ． （3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x,(p>0)$ ．

4．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}$ 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

5．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{3}+k^{3}+k^{2}}$ ．

四、判断下列级数的敛散性： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ ； （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{(n!)^{2}}{2 n!}$ ．

8、（15 分）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 敛散性．

9、（15 分）判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} d x(0<p<2)$ 敛散性．

八、（本题满分 10 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{2}+\cos x} d x$ 的敛散性，若收敛，试说明绝对收敛还是条件收敛。。

9．已知 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2} \neq 0\left(\text { 应该是 } x^{2}+y^{2}=0\right)\end{cases} $$ （1）若 $x=x(t), y=y(t)$ 是过原点的任意可微曲线（即 $t=0$ 时，$x^{2}(0)+y^{2}(0)=0 ; t \neq 0$ 时， $\left.x^{2}(t)+y^{2}(t) \neq 0\right)$ ，证明：$f(x(t), y(t))$ 可微． （2）求证 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微．

2．问 $\left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？（8分）

7．（13 分）判断积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{3} \sin \left(x^{q}\right) \mathrm{d} x(q \neq 0)$ 的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛和发散）。

7．（15 分）设 $\displaystyle p>0$ ，讨论反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性与绝对收敛性．

5．（15 分）解答如下问题： （1）判断函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x e^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的一致收敛性． （2）判断函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x^{2}\right)}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 上的一致收玫性．

2．设 $x_{1}>0$ ，对 $n \geq 1$ ，有 $x_{n+1}=\arctan x_{n}$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 是基本数列．

2．当 $p=1$ 时，求 $I_{p}$ 的敛散性．

5．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}(p \in \mathbb{R})$ 的敛散性．

五、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \frac{a}{1+a^{n}}(a>0)$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）（15 分）

3． $\int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

2、判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性（绝对收敛还是条件收敛）。

八、（15 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\alpha)^{n} n!}{n^{n}},(\alpha>0)$ 的敛散性．若收敛，请指出是条件收敛还是绝对收敛。

三、（15 分）设 $\displaystyle U_{1}=2, \cdots, U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{n}+\frac{1}{U_{n}}\right), n=1,2,3, \cdots$ ． （1）证明：数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限． （2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)$ 的敛散性并证明．

2．（15＇）讨论数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n}{n^{p}}$ 的敛散性，其中 $p$ 是实常数。

三．用柯西准则判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 的敛散性，其中 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}$ 。

六．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递减且 $\displaystyle f(x)>0$ ，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 具有相同的收敛性．

四．（15 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的敛散性，其中 $p$ 为实数．