综合与杂题

6、求抛物线 $y=x^{2}$ 与 $y=8-x^{2}$ 所围成区域的面积．

三．（15 分）利用确界原理证明定义在闭区间上的连续函数必然是有界的．

四．（10分）利用确界原理证明有限覆盖定理．

2．设 $\displaystyle F(x, y)$ 在以 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为中心的矩形区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 . y=f(x)$ 为 $\displaystyle F(x, y)=0$ 所确定的隐函数．证明：当 $\displaystyle F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $\displaystyle F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 同号时，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处取得极大值 $\displaystyle y_{0}$ ．

三．（20分）叙述实数完备性的有限覆盖定理，并用之证明一元函数的介值性定理．

3．（15分）试用确界原理证明有限覆盖定理．

三．（15 分）使用闭区间套定理证明聚点定理：实数轴上任一有界无限点集 $S$ 必有一个聚点．

1. $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$ 收玫。

三．（20分）设 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 为一列非空有界闭区间序列满足 $\displaystyle S_{1} \supset S_{2} \supset \cdots \supset S_{n} \supset \cdots$ ．利用 Bolzano－Weierstrass 致密性定理和 Heine－Borel 有限覆盖定理分别证明 $$ \bigcap_{n=1}^{\infty} S_{n} \neq \varnothing . $$

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，按提示三种方法证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle f(\xi)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)>0(\xi<x \leqslant b)$ ． （1）确界定理； （2）区间套定理； （3）有限覆盖定理； （4）其他方法．

4．解答如下问题： （1）叙述 $\mathbb{R}^{2}$ 的聚点定理． （2）利用聚点定理证明二元函数 $f$ 在有界闭域 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 连续则一致连续．

2．（15分）已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值．

17．叙述有限覆盖定理，并用之证明任何有界无穷数列必有收敛子列。

15．用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数有最大值与最小值．

15．利用聚点定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ．

十．（15分）用有限覆盖定理证明致密性定理，即任意有界数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 必定有收敛子列．

9．解答如下问题： （1）叙述有限覆盖定理以及一致连续的定义． （2）利用有限覆盖定理证明连续函数在闭区间内一致连续．

六．（15分）利用有限覆盖定理证明下述结论：如果 $D$ 是平面 $\displaystyle R^{2}$ 上的有界闭区域且函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $D$ 连续，则函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $D$ 有界。

三．（15 分）用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明：有限闭区间上的连续函数必一致连续．

一、用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明闭区间上的连续函数可以达到最大值．

3．叙述致密性定理并证明：设 $\displaystyle D_{1}, D_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的两个非空闭集且 $\displaystyle D_{1}$ 有界，则存在 $\displaystyle x_{0} \in D_{1}, y_{0} \in D_{2}$ ，使 $$ \left\|x_{0}-y_{0}\right\|=\inf _{\substack{x \in D_{1} \\ y \in D_{2}}}\|x-y\| $$ 其中 $\displaystyle \|\cdot\|$ 表示 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的欧氏距离．

4．描述区间套定理，并用区间套定理证明致密性定理．

7．设 $p>0$ ，广义积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 条件收玫，则实数 $p$ 满足的条件是 $\_\_\_\_$ ．

四．试用有限覆盖定理证明根的存在性定理。（15 分）

1．证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n+x^{2}}$ 关于 $x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，但不绝对收敛。

七．设 $\displaystyle \left\{U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)\right\}_{\lambda \in \Delta}(\Lambda$ 是一个指标集 $\displaystyle )$ 是 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 的一个无限开覆盖，证明下列问题（不可以直接用有限覆盖定理）

八、（15 分）叙述 $R$ 上的聚点定理，用聚点定理证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续函数 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

2、用闭区间套定理证明 $\displaystyle [0,1]$ 是不可数集．