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九．函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （1）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收玫，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （2）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收敛，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积． （3）假设每个 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对任意的 $x$ 和正整数 $n$ ，都有 $\displaystyle \left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．

五．已知三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的二阶偏导数，设 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中光滑简单封闭曲面的全体为 $\displaystyle \Sigma$ ，对于 $\displaystyle S \in \Sigma$ ，用 $\displaystyle \mathbf{n}$ 表示 $S$ 的外法线单位方向向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \mathbf{n}$ 的方向导数． （1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) } $$ 当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ． （2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明： $$ f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长． （3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．

八．若函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导，并且它们在 $\displaystyle (a, b)$ 内有相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．

六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例． （1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ． （2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续． （3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在． （4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．

七、（25分）解答如下问题． （1）证明：含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。 （2）证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \sin x \mathrm{~d} x$不一致收敛，但是内闭一致收敛． （3）利用（1）、（2）中的结论计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ． （4）利用（3）中的结论证明： $$ \int_{0}^{+\infty}\left[\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \sin (x+y)}{x(x+y)} \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{8} $$

三、（20 分）解答如下问题． （1）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足： $$ \left|x_{n+1}-x_{n}\right|<r\left|x_{n}-x_{n-1}\right|, n=2,3,4, \cdots \text {, 其中 } r \in(0,1) \text {. } $$ 证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。 （2）如果将（1）中的常数 $r$ 换成 1 ，是否仍然有数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛？证明你的结论．

五、（15 分）判断下列命题的正误，正确的需给出证明，错误的需要举出反例． （1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n}$ 也收玫． （2）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （3）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle g(x)$ 以 $x$ 轴为水平渐近线，则函数 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

八、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的实值黎曼可积函数，给定区间 $\displaystyle I \subset[-\pi, \pi], I$ 上的特征函数定义为：$\displaystyle \chi_{I}(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in I \\ 0, x \notin I\end{array}\right.$ ．如果 $\displaystyle I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{N}$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 中两两不交的子空间，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}$ 均为常数，且 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{N} I_{k}=[-\pi, \pi]$ ，那么我们称有限线性组合 $$ a_{1} \chi_{I_{1}}+a_{2} \chi_{I_{2}}+\cdots+a_{N} \chi_{I_{N}} $$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数． （1）证明：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 和 $\displaystyle \psi(x)$ ，使得 $$ \varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x), x \in[-\pi, \pi] . $$ 并且 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\varphi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon, \int_{-\pi}^{\pi}|\psi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$. （2）利用（1）中的结论证明： $$ \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (p x) \mathrm{d} x=\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0 $$ （3）将 $\displaystyle f(x)$ 延拓为 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的周期函数，延拓之后的函数仍记为 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的部分和 $\displaystyle S_{n}(x)$ 可以写成 $$ S_{n}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots $$ （4）在第（3）小题的条件下，再假设 $\displaystyle x_{0} \in(-\pi, \pi)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$上的唯一间断点，且存在极限 $\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x), B=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ， $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-A}{x-x_{0}}, \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-B}{x-x_{0}} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{A+B}{2}$ ．

六、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{D}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中由光滑简单封闭曲线 $\displaystyle \mathbf{C}$ 所围成的闭区域，二元函数 $f$ 和 $g$ 在 $D$ 上具有连续的二阶偏导数，记作：$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ ． （1）证明： $$ \iint_{D}(g \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{C} g \xrightarrow[\partial \vec{n}]{\partial f} \mathrm{~d} s-\iint_{D}[\operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为曲线 $C$ 的外法单位向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 方向的方向导数，向量 $$ \operatorname{grad}(f)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right), \operatorname{grad}(g)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) $$ （2）证明：若 $f$ 在曲线 $C$ 上满足 $\displaystyle f \equiv 0$ ，则 $$ \iint_{D}\left(|f|^{2}+|\Delta f|^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geq 2 \iint_{D}|\operatorname{grad}(f)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $$

四、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的一阶导函数，证明： （1）对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ． （2）$\displaystyle \left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle [c, d] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [c, d]$ 上最小值为 $\displaystyle f(a)$ ，最大值为 $\displaystyle f(b)$ ．八、（10 分）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是一个收敛的正项级数，令 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}|\sin n x| $$ 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上利普希兹连续，即存在常数 $\displaystyle \mathbf{L}>\mathbf{0}$ ，使得对任意实数 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}$ ，都有 $$ |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|, $$ 证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫。

五、（25 分）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(\frac{x-1}{x}\right)^{n}$ 的收玫域及和函数．六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．设 $n$为正整数，$\displaystyle \xi_{k} \in\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right], k=1,2, \cdots, n$ 。证明： $$ \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\right| \leq \frac{1}{n} $$

2、（25 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处连续，在 $\displaystyle x_{0}$ 的去心邻域内二阶可导且二阶导函数有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处左右导数都存在．

3、（25 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, ~ g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$上可积，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(n x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x$ ．

4、（20分）设 $\displaystyle f:(a, b) \rightarrow(a, b)$ 满足对 $\displaystyle \forall x, y$ ध $\displaystyle (a, b)$ ，当 $\displaystyle x \neq y$ 时，有 $$ |f(x)-f(y)|<|x-y|, $$ 任取 $\displaystyle x_{1} \in(a, b)$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right),(n=1,2, \cdots)$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 收玫．

5、（20 分）设定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，对任意满足 $\displaystyle a_{n}<0<b_{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}=0$ 的点列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{f\left(b_{n}\right)-f\left(a_{n}\right)}{b_{n}-a_{n}^{-} \text {都存在，证明：函数 } f(x) \text { 在 } x=0 \text { 处可微．}}$

3、设 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中的有界区域，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上连续，且满足：对任意包含于 $\displaystyle \Omega$ 的开集 $U$ ，象集 $\displaystyle f(U)=\{f(x) \mid x \in U\}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{1}$ 中的开集，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上的最大值必在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 的边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 上取得，即 $\displaystyle \max _{x \in \bar{\Omega}} f(x)=\max _{x \in \overline{\partial \Omega}} f(x)$ ．

4、令 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n \ln n)^{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续可微．

6、【版本 1】：设数列 $\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lambda_{n} \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right),(n=1,2, \cdots)$ ，且 $$ \varliminf_{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}>\frac{1}{e} \text {, 令 } f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\lambda_{n} e^{f_{n-1}(x)},(=1,2, \cdots) \text {. } $$ 证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)=+\infty$ ． 【版本 2】：设数列 $\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lambda_{n} \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right),\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$且 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}>\frac{1}{e}$ ，令 $$ f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\lambda_{n} e^{f_{n-1}(x)},(=1,2, \cdots) $$ 证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)=+\infty$ ．

7、设 $\displaystyle a_{n}=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{2^{x}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} \mathrm{~d} x,(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{4}{5}$ ．

8、证明 $\displaystyle \forall x>0, \prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ 都收玫，并求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)\right)}{\sqrt{x}}$ ．

2．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上可导的函数，证明：若 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)|(M>0)$ ，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒为常数．

3．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C^{2}[a, b]$ ，证明梯形求积公式误差满足 $$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]=-\frac{(b-a)^{3}}{12} f^{\prime \prime}(\xi) . $$ 其中 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ．

4．（20 分）设 $\displaystyle T(r)$ 是定义在 $\displaystyle \left[r_{0},+\infty\right)\left(r_{0}>0\right)$ 上的一个单调递增函数，且 $\displaystyle T\left(r_{0}\right) \geq 1$ ．证明： （1）若 $\displaystyle T(r) \in C^{0}\left[r_{0},+\infty\right)$ ，则存在 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\} \subset\left[r_{0},+\infty\right)$ 满足 $\displaystyle r_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得 $$ T\left(r_{n}+\frac{1}{T\left(r_{n}\right)}\right)<2 T\left(r_{n}\right) . $$ （2）若 $\displaystyle T(r) \in C^{1}\left[r_{0},+\infty\right)$ ，则存在 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\} \subset\left[r_{0},+\infty\right)$ ，满足 $\displaystyle r_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得 $$ T^{\prime}\left(r_{n}\right)<T^{1+\varepsilon}\left(r_{n}\right), \varepsilon>0 . $$

5．（15 分）设数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的绝对值 $\displaystyle |\cdot|$ 满足 $\displaystyle |x \times y| \leq \max \{|x|,|y|\}, x, y \in \mathbb{F}$ ，而且 $\displaystyle \mathbb{F}$ 关于 $\displaystyle |\cdot|$ 是完备的． （1）试给出 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的定义． （2）确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫与 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 的关系，并证明你的结论。

6．（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{f}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 是 $\displaystyle C^{r}$ 映射（ $\displaystyle r \geq 1$ ），若 $\displaystyle \mathbf{f}$ 的 Jacobi 行列式在 $\displaystyle \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 处不为零，证明：存在点 $\displaystyle \mathbf{x}$ 的开邻域 $U$ 和实数 $\displaystyle \omega>0$ ，使得 $$ \left\|f\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)-f\left(\mathbf{x}^{\prime \prime}\right)\right\| \geq \omega\left\|\mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{x}^{\prime \prime}\right\|, \forall \mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{x}^{\prime \prime} \in U . $$ 这里 $\displaystyle \|\cdot\|$ 为向量的 $\displaystyle 2-$ 范数．

7．（15 分）设开集 $\displaystyle U \subset \mathbb{R}^{3}$ ，函数 $\displaystyle u \in C^{2}(U)$ ，且在 $U$ 中满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ．证明：对任意 $\displaystyle x_{0} \in U$ ，有 $$ u\left(\mathbf{x}_{0}\right)=\frac{1}{\left|\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)\right|} \iint_{\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)} u \mathrm{~d} S $$ 其中 $\displaystyle B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)$ 为包含于 $U$ 中的以 $\displaystyle x_{0}$ 为球心，$r$ 为半径的任意球，$\displaystyle \left|\partial B\left(\mathbf{x}_{0}, r\right)\right|$ 为球面面积．

2．若 $e^{x^{2}+y}-x^{2} y=0$ ，求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．

3．求定积分 $\int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ ，其中 $a>0$ ．

5．求椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 在第一象限的一条切线，使其被坐标面所截得的线段最短．

7．求三重积分 $\iiint_{V} \frac{d x d y d z}{(1+x+y+z)^{3}}$ ，其中 $V$ 是由平面 $x+y+z=1$ 及三个坐标平面围成的立体图形．

1．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 是 $k$ 个正数，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{k}^{n}}=\max \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right) $$ ．2．用一致连续的定义证明：若 $f, g$ 都在区间 $I$ 上一致连续，则 $f+g$ 在 $I$ 上也一致连续．

10、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．证明： $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

11、证明：$\displaystyle f(x)=x^{3} e^{-x^{2}}$ 是有界函数．

12、证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty),(\delta>0)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛。

13、由闭域套定理证明： $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的有界无限点集 $\displaystyle \mathbf{E}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中至少有一个聚点．

14、设 $S$ 是包围 $V$ 的光滑曲面，证明：$V$ 的体积 $\displaystyle \Delta V$ 为： $$ \Delta V=\frac{1}{3} \iint_{S}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是曲面 $\displaystyle \mathbf{S}$ 的外法线的方向余弦。 【注】个别题目不全，欢迎留言补充，或者投稿完善！

9．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，若 $\displaystyle a_{n}, a>0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ．

3、幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n-1}}{(2 n-1)!}$ 的收敛区域为 $\_\_\_\_$ ．

4、函数 $u(x, y, z)=x y z$ 在点 $(5,1,2)$ 沿点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数为 $\_\_\_\_$。

5、设 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $x=y$ 相交的圆周，则第一型曲线积分 $$ \int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s= $$ $\_\_\_\_$

6、求抛物线 $y=x^{2}$ 与 $y=8-x^{2}$ 所围成区域的面积．

四、综合题。（第 16 题 12 分，第 17 题 13 分）

三．（15 分）利用确界原理证明定义在闭区间上的连续函数必然是有界的．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：对任何正整数 $n$ ，有 $$ \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n} $$ 其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数．

五．（15 分）解答如下问题： （1）求函数 $\displaystyle f(x)=|x|, x \in[-\pi, \pi]$ 的傅里叶级数． （2）证明 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．

六．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有定义，对任意的 $\displaystyle b>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=a$ ．若 $\displaystyle \varphi(t)$在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t=1$ ．证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \varphi(t x) f(x) \mathrm{d} x=a$ ．

四．（15 分）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的非负数列．证明．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{2^{n}}$ 具有相同的玫散性．

1．设数列 $a_{n}=\frac{\sum_{k=0}^{n} \ln C_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\frac{1}{2}$ ．

七．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在单位圆 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(0,1)=f(1,0)$ ，证明：在单位圆上至少有两点满足方程 $\displaystyle y \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)=x \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ ．

三．（15 分）证明不等式： （1）$\displaystyle \sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}>\ln t(t>1)$ ． （2）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k^{2}+k}}>\ln (1+n)\left(n \in \mathbb{N}^{+}\right)$．

二．（15 分）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．

五．（15 分）证明： （1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 x^{2}}{1+n^{3} x^{4}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛． （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{1+n^{4} x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但非一致收敛．

六．（15 分）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意正整数 $n$ ，令 $\displaystyle x_{i}=a+\frac{b-a}{n} i, i=1,2, \cdots, n$ ，记 $$ A_{n}=\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, n=1,2, \cdots $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n A_{n}=\frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]$ ．

四．（10分）利用确界原理证明有限覆盖定理．

三．已知 $\displaystyle f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且 $\displaystyle u=0$ 附近满足 $\displaystyle |\varphi(u)| \leq u^{2}$ ，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$（ $A$ 为常数），证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．

六．对于级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x\right)}{n} x^{-(n+1)}$ ．证明： （1）该级数在 $\displaystyle \left[1+\varepsilon_{0},+\infty\right)\left(\varepsilon_{0}>0\right)$ 上一致收敛． （2）该级数在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛．

七、证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，有 $$ \ln \sqrt{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1} $$ 并讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1}$ 关于 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 是否一致收敛。

九、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，又 $\displaystyle f(0)=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，有 $$ \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)| \text {, 其中 } M \text { 为非负常数. } $$ 证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, \forall x \in[0,1]$ ．

五、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上是严格单调的，又序列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(a), $$ 求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ．

八、若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-g(x))=0 . $$ 证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续的充要条件是 $\displaystyle g(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续．

六、若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $$ \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq a_{n}, \forall n \geq 1 . $$ 证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

九、（17 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，试证明：对于 $\displaystyle [a, b]$ 中任意不同的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，有 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]>f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)$ ．

二、（15 分）设 $k$ 是常数，方程 $\displaystyle k x-\frac{1}{x}+1=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内恰有一根，求 $k$ 的取值范围．

八、（15 分）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n x)}{n^{2}}=\frac{1}{2}\left(3 x^{2}-6 \pi x+2 \pi^{2}\right),(0 \leq x \leq \pi)$ ．

5．计算定积分 $\int_{-1}^{1} \frac{t^{2027}-t^{2025}+t+1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ．

九．（10 分）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+1} \leq a_{n}+\frac{1}{2026^{n}}$ ． （1）证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界． （2）证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $$ f^{2}(1)-f^{2}(0)=2026 $$ 证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) f(\xi)=2026 \xi$ ．

四．（15 分）设 $\displaystyle k(x, y) \in C([0,1] \times[0,1]), f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且 $$ h(x)=\int_{0}^{x} f(y) k(x, y) \mathrm{d} y $$ 证明：$\displaystyle h(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．

4．求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right) $$

5．已知函数 $$ g(t)= \begin{cases}t+2, & t \geq 0 \\ A t^{3}+B t^{2}+C t+D, & -r<t<0 \\ 0, & t \leq-r\end{cases} $$ 连续可微，其中 $r>0$ ． （1）求 $A, B, C, D$ 的值． （2）求导函数 $g^{\prime}(t)$ ．

6．已知函数 $f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_{0}^{1} x(f(x)+1) \mathrm{d} x$ ．

7．求幂级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ 的收敛域与和函数．

七，（10 分）设 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq c_{n}, x \in(a, b), n=1,2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left[1+f_{n}(x)\right]$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$上一致收玫。

二，（15 分）证明：$\displaystyle x+x^{3}+x^{5}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且严格单调递增．

八，设 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{c}(x+y+z)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0\right) \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle p \in N^{+}$，证明 $\displaystyle p>0$ 时，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在原点处连续．

四，（20 分）证明：（1）在 $\displaystyle [a, b]$ 上凸函数必有界． （2）［a，b］上凸函数必内必一致连续．

四，（10 分）证明数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3 n}\right)$ ．

五，（15 分）考察函数 $\displaystyle f(x)=x \sin x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收玫性．

十，（15 分）设 $\displaystyle u=\ln (x+y)$ ，求 $\displaystyle d^{2015} u$ ．

四，（10 分）证明数列 $\displaystyle \left\{\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ 。

七，（10 分）设 $\displaystyle x>0, y>0, \beta>\alpha>0$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{\alpha}+y^{\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha}}>\left(x^{\beta}+y^{\beta}\right)^{\frac{1}{\beta}}$ 。

七，（10 分）证明：$\displaystyle n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}, n>1$ ．

三，（10 分）证明 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。

八，（10 分）证明：$\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}>e, x>0$ ．

四，（10 分）若 $\displaystyle 0 \leq x_{n+m} \leq x_{n}+x_{n}, n, m \in N^{+}$，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$ 存在

一，（18 分）（1）比较 $\displaystyle \log _{2016} 2017, \log _{2017} 2018$ 的大小。（2）求 $\displaystyle d^{n}\left(\frac{\ln x}{x}\right)$ ．

三，（10 分）确定 $a$ 的范围，使得 $\displaystyle y=\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-a x+1-a\right)$ 在 $\displaystyle \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 上单调递增．

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=n^{(-1)^{n}}$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \underline{l_{n \rightarrow \infty}}, \overline{l_{n \rightarrow \infty}}$ ．

八，（10 分）研究 $\displaystyle \arctan x+\arctan \frac{1}{x}$ 与 $\displaystyle \frac{\pi|x|}{2 x}$ 的关系．

五、（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-\sqrt{1+x^{4}}}+\sqrt[3]{x^{2}+\sqrt{1+x^{4}}}, x \in(0,+\infty)$ 的反函数．

八、（10 分）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：$\displaystyle x_{1} x_{2} \cdots x_{n}>\frac{1}{2 e}$ ．

四、（10 分）证明：$\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。

（10）四、若 $\displaystyle f(x)$ 的图像关于 $\displaystyle x=a, x=b, a \neq b$ 对称，证明 $\displaystyle f(x)$ 为周期函数．

2．设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{\dot{1}}{2^{p}}+\cdots+\frac{1}{n^{p}}$ ，证明：当 $\displaystyle p>1$ 时 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛；当 $\displaystyle p \leq 1$ 时 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 发散．（15分）

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有界，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 （ $\displaystyle -\infty,+\infty$ ）内有界．（15 分）

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，且 $$ \int_{a}^{b} x^{k} f(x) d x=0 \quad(k=0,1, \cdots, n), $$ 证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有 $\displaystyle n+1$ 个不同零点．（15 分）

5．将函数 $\displaystyle f(x)=x(2 \pi-x), 0<x<2 \pi$ 展开成傅里叶级数并证明：$\displaystyle \pi^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6}{n^{2}}$ ．（20 分）

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，令 $$ f_{1}(x)=f(x), f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots $$ 证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．（15 分）

7．举一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 使之满足在某点对每一个自变量都连续，但在该点不连续，并给予证明．（10 分）

8．设 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}$ ， （1）若 $\displaystyle u=f(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \Delta u=f^{n}(r)+\frac{n-1}{r} f^{\prime}(r)(r \neq 0)$ ．（10 分） （2）$\displaystyle \Delta\left(r^{2-n}\right)=0(r \neq 0, n \geq 3)$ ．（5 分）

1．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (0,1)$ 上的凸函数． 证明（1）对任意 $\displaystyle x, y \in(0,1), x<y$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(x, y)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq f_{-}^{\prime}(\xi)$ ； （2）$\displaystyle f(x)$ 的左导数为左连续的，即对任意 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f_{-}^{\prime}(x)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明 （1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ； （2）存在两个互异的点 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\eta_{1}\right) f^{\prime}\left(\eta_{2}\right)=1$

2．设 $\displaystyle F(x, y)$ 在以 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为中心的矩形区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 . y=f(x)$ 为 $\displaystyle F(x, y)=0$ 所确定的隐函数．证明：当 $\displaystyle F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $\displaystyle F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 同号时，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处取得极大值 $\displaystyle y_{0}$ ．

4．证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 收玫，并求其值．

5．运用极限定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$ ．

一，（15 分）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+1}=\sqrt[3]{6+a_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

二，（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续， $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=0, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少有两个不同的零点．

六，（15 分）若 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收敛。证明：$\displaystyle g(a)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} a x d x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续．

十，（15 分）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

1．用极限定义证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$ ．

10．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上具有二阶连续偏导数，证明： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) d \sigma=\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿着 $\displaystyle \partial D$ 外法线方向 $n$ 的方向导数．

2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $R$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 单调，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $R$ 上连续．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续凸函数，证明： $$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} $$

4．设 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上严格单调递增且连续，$\displaystyle f(0)=0, x=f^{-1}(y)$ 为 $\displaystyle y=f(x)$的反函数，$\displaystyle a \in R^{+}$，证明：$\displaystyle a f(a)=\int_{0}^{a} f(x) d x+\int_{0}^{f(a)} f^{-1}(y) d y$ ．

5．对 $\displaystyle a \in R$ ，记 $\displaystyle a^{+}=\max \{a, 0\}, a^{-}=\max \{-a, 0\}$ ． 证明： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛当且仅当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{+}$与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{-}$均收敛； （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{+}=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{-}=+\infty$ 。该命题的逆命题是否正确？若是，请给出证明，若否，请给出反例．

6．设 $\displaystyle E \subset R^{2}$ ，且 $\displaystyle \operatorname{int} E \neq \varnothing$ ，记 $\displaystyle \mathcal{B}=\{B \subset E \mid B$ 为开集 $\displaystyle \}$ ．证明： $\displaystyle \operatorname{int} E$ 为开集，且 $\displaystyle \operatorname{int} E=\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$.

7．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，不可微，且沿任意方向的方向导数都存在。

一、（15分）叙述数列的柯西收敛准则，并用柯西收敛准则证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛， 其中 $\displaystyle a_{n}=\frac{\cos ^{1} 1}{1^{1}}+\frac{\cos ^{2} 2}{2^{2}}+\frac{\cos ^{3} 3}{3^{3}}+\cdots+\frac{\cos ^{n} n}{n^{n}}$ ．

三、（15 分）判断 $e$ 是有理数，还是无理数？

九、（15 分）已知 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，求证： $$ \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (r x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\frac{r^{2}}{4}} $$

八、（15 分）证明：曲面 $\displaystyle F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right)=0$ 的切平面过定点，其中 $F$ 具有连续偏导数．

六、（15 分）证明：黎曼函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．

6．（1）求 $\displaystyle \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x-\ln x}\right)$ ；（2）求 $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^{2}} d x$ ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，且 $\displaystyle 0<f(x)<x, x \in(0, a)$ ，任取 $\displaystyle x_{1} \in(0, a)$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 都收敛。

5．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有定义，并且满足：$\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \exists \delta_{x}>0$ ，当 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right)$ 且 $\displaystyle x_{1}<x<x_{2}$时，必有 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)>f(x)>f\left(x_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上是严格单调减少函数．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 是正数列，若对任意固定的 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ ，有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x+\lambda_{n}\right)=0 $$ 证明：函数列 $\displaystyle \left\{f\left(x+\lambda_{n}\right)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上一致收玫于零．

7．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有界的连续函数，若存在正常数 $a$ ，使得 $$ f(x)+a \int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数．

三．（20分）叙述实数完备性的有限覆盖定理，并用之证明一元函数的介值性定理．

二．（ 15 分）设实数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2}}{\ln n}=2$ ．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，证明：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是对任意不同实数 $\displaystyle a, b$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．

七、（16 分）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 所确定的函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

三、（15 分）若 $\displaystyle 0<x_{1}<2$ 且 $\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left(2-x_{n}\right)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．

九、（16 分）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=\frac{1}{2} \ln 2$ ．

八、（16 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x), \psi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle \varphi(a)=\varphi(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \varphi^{\prime}(\xi)+\varphi(\xi) \psi^{\prime}(\xi)=0$ 。

三、（16 分）函数 $\displaystyle f:[a, b] \rightarrow[a, b]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)-f(y)| \unlhd x-y \mid, \forall x, y \in[a, b]$ ， $\displaystyle \forall x_{1} \in[a, b]$ ，定义 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{3}\left[2 x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right]$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上某点 $z$ ，且 $\displaystyle f(z)=z$.

九、（20 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上的数列，$\displaystyle a_{i} \neq a_{j}(i \neq j)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-a_{n}\right)}{2 n}$ 在 $\displaystyle (0,1)$上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1) \mid\left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每个点都连续，在 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每点处不连续．

四、（16 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递增的正数列，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n+1} \sqrt{a_{n}}}$ 收玫．

1．用＂$\varepsilon-\delta$＂语言叙述函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的定义，并证明：$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续．

2．计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．

2．讨论 $f(x)=\sin x^{\alpha}(\alpha>0)$ 在 $(0,1)$ 上的一致连续性．

2．求积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ ．

1．证明：函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

3．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

二．设函数 $f$ 是 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)$ 上的有定义．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在的充要条件是对于含于 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)$ 且以 $\displaystyle x_{0}$ 为极限的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在且相等．

2． $\int_{0}^{\pi} \frac{|\cos x|}{\sin x+|\cos x|} d x$ ．

3． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=n^{2}}^{(n+1)^{2}} \frac{1}{\sqrt{i}}$ ．

4． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2}+i^{2}} \sin \frac{1}{n}$ ．

1．讨论 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \arctan x}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x(n>0)$ 的收敛性；

七．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $\displaystyle R \in(0,+\infty)$ ，其在开区间 $\displaystyle (-R, R)$ 上一致收玫，证明：其在闭区间 $\displaystyle [-R, R]$ 上一致收玫．

三．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明： （1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有最大值或最小值； （3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

二．（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x$ ； （2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x}{4 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x} d x$ ．

四．（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： 对任意 $\displaystyle k \in R$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle k f(\xi)=f^{\prime}(\xi)$ ； （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](0<a<b)$ 上可导，$\displaystyle f(a) \neq f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ； （3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M, x \in[0,1]$ ．证明：对任何正整数 $n$ ，有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) d x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n}$.

七、设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，定义函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) d t$ ．

三、解答如下问题： （1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （2）已知 $\displaystyle A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}$ 存在，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ ．

二、证明 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上不一致连续．

五、解答如下问题． （1）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}}(p>0)$ 的玫散性； （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n+1)!} x^{n}$ 的收敛域与和函数； （3）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 二阶连续可导的函数，证明：$f$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致收敛于 $f$ ．

四、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ． （1）证明：存在互异的 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{2}\right)}=2$ ； （2）$\displaystyle a, b$ 为任意正实数，证明：存在互异的 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=a+b$ ．

1．（20分）用极限的严格数学定义证明： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=0$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{n}}{n!}=0$ ．

10．（5 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，非负且严格单调递增，由积分中值定理，对任意的正整数 $k$ ，存在 $\displaystyle x_{k} \in[a, b]$ ，使得 $$ f^{k}\left(x_{k}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^{k}(x) \mathrm{d} x $$ 证明： $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}=b$ ．

3．（15分）试用确界原理证明有限覆盖定理．

4．（15 分）证明：若 $f$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，则 $f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．

6．（15 分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle x, y>0$ ，用条件极值方法证明 $\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$

7．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，证明：存在 $\displaystyle a, b>0$ 使得 $\displaystyle |f(x)| \leq a|x|+b$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的凸函数且有上界，证明：$\displaystyle f(x)$ 是常数．

一．（20分）用极限的严格数学定义证明： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}}=1$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1$ ，其中 $\displaystyle a>1$ ．

七．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

三．（15 分）使用闭区间套定理证明聚点定理：实数轴上任一有界无限点集 $S$ 必有一个聚点．

九．（15 分）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 二阶可导，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的有界函数，证明：存在 $\displaystyle \xi \in (-\infty,+\infty)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

十．（5 分）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上各阶可导，且存在 $\displaystyle M>0$ ，使得 $$ \left|f^{(k)}(x)\right| \leq M, \forall x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots $$ 如果在一无限有界集 $E$ 上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ，证明：在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

四．（15 分）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，则 $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ ．

2．证明极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right) $$ 存在．

3．证明 $$ \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x $$ 收玫，其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．

1. $$ \sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x $$

2. $$ \mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x $$

1. $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$ 收玫。

2. $$ -2009 \leqslant \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \leqslant 2009 $$

2．计算 $$ \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}} $$ 其中 $\Sigma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $z \geqslant 0$ 部分．

3．计算 $$ \int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $(1,1,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的部分．

1．证明 $n$ 为奇数时 $y_{n}<a ; n$ 为偶数时 $y_{n}>a$ ．

2．证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 存在并求极限值．

1．证明 $$ 0<a_{n} \leqslant 2^{n-1}(n \geqslant 2) $$

2．记 $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$ 求 $f(x)$ 的表达式与幂级数的收敛半径；

3．求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

3．计算 $$ \int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z $$ 其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．

六．（15 分）设有按大小排列的 $m$ 个点：$\displaystyle a_{1}^{(1)} \leqslant a_{2}^{(1)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(1)}$ ．用 $\displaystyle \frac{a_{1}^{(1)}+a_{m}^{(1)}}{2}$ 代替 $\displaystyle a_{1}^{(1)}$ 和 $\displaystyle a_{m}^{(1)}$ ，然后再按大小排列，得：$\displaystyle a_{1}^{(2)} \leqslant a_{2}^{(2)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(2)}$ 。再用 $\displaystyle \frac{a_{1}^{(2)}+a_{m}^{(2)}}{2}$ 代替 $\displaystyle a_{1}^{(2)}$ 和 $\displaystyle a_{m}^{(2)}$ ，然后再按大小排列，得： $\displaystyle a_{1}^{(3)} \leqslant a_{2}^{(3)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(3)} \cdots$ ，依次下去，得 $m$ 个点列 $\displaystyle \left\{a_{1}^{(n)}\right\},\left\{a_{2}^{(n)}\right\}, \cdots,\left\{a_{m}^{(n)}\right\}$ ，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{j}^{(n)}=\frac{a_{1}^{(1)}+a_{2}^{(1)}+\cdots+a_{m}^{(1)}}{m}(j=1,2, \cdots, m) $$

四．（15 分）按提示的思路用两种不同方法证明： $$ \ln \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right) \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x $$ 其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ ． 思路 1：利用定积分的定义； 思路2：应用积分中值后再用 Taylor 公式； 思路 3：其它方法．

一．（15 分）设 $\displaystyle a, x_{1}$ 为正实数．对 $\displaystyle n \geqslant 2$ ，定义数列 $$ x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right), $$ 证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在且不依赖于 $\displaystyle x_{1}$ 的选取．

三．（20分）设 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 为一列非空有界闭区间序列满足 $\displaystyle S_{1} \supset S_{2} \supset \cdots \supset S_{n} \supset \cdots$ ．利用 Bolzano－Weierstrass 致密性定理和 Heine－Borel 有限覆盖定理分别证明 $$ \bigcap_{n=1}^{\infty} S_{n} \neq \varnothing . $$

九．（10 分）设 $n$ 元函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$ 有连续的二阶偏导函数．记 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ccc}f_{11} & \cdots & f_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n 1} & \cdots & f_{n n}\end{array}\right)$ 为 $f$ 的 Hessian 矩阵．若 $\displaystyle \vec{u}$ 为单位行向量，$\displaystyle \vec{u}^{\prime}$ 表示 $\displaystyle \vec{u}$ 的转置，判断 $\displaystyle \vec{u} H \vec{u}^{\prime}$ 与 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{u}$ 的二阶方向导数的关系并加以证明．

二．（15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 定义证明二元函数 $$ f(x, y)=\frac{x}{y} $$ 在 $\displaystyle \{(x, y): x, y \in \mathbb{R}, y \neq 0\}$ 上连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足： （1）$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且非负， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ； （2）$\displaystyle \forall \delta \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-\delta]$ 和 $\displaystyle [\delta, 1]$ 上都一致收敛于 0 ． 证明对 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x)$ ，有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0) $$

八．（15 分）证明对 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 适当加括号以后，把每个括号内算一项，可使新级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} F_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, \pi-\delta]$ 上绝对且一致收敛，这里 $\displaystyle 0<\delta<\frac{\pi}{2}$ ．

六．（15 分）（1）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $$ \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x $$ （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有连续的导函数，$\displaystyle f(a)=0$ ．记 $\displaystyle g(x)=\int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ ．证明： （i） $$ \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x ; $$ （ii） $$ \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x $$

四．（15 分）判断＂若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，但无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界＂这个命题及其逆命题的正确性，正确请加以证明，错误举一反例．

一．（15 分）（1）证明 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{m}=1 $$ 这里 $m$ 为给定正整数． （2）设 $\displaystyle a_{k}>0(k=1,2, \cdots, m)$ 证明 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}=\max \left\{a_{k}\right\}(1 \leqslant k \leqslant m) . $$

七．（15 分）（1）证明 $$ \ln (1+x) \leqslant x, x \in(-1, \infty) $$ （2）求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}} $$ （3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在．证明 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{2}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) . $$

三．（15 分）若 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，证明： （1）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界； （2）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 是一致连续函数．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二次连续可微，证明 $\displaystyle f(x)$ 为次数不超过二次多项式的充要条件是：对于任意的 $\displaystyle x, h$有等式 $$ f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right) $$

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，按提示三种方法证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle f(\xi)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)>0(\xi<x \leqslant b)$ ． （1）确界定理； （2）区间套定理； （3）有限覆盖定理； （4）其他方法．

六．（15 分）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mu_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a-z, a+z)$ 上一致收玫且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \mu_{n}(x)=A_{n}$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}$ 收玫且有 $$ \lim _{x \rightarrow a} \sum_{n=1}^{\infty} \mu_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} $$

十．（15 分）（1）计算积分 $$ \int_{C}\left(\sin x-y \mathrm{e}^{x y}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y $$ 其中 $C$ 为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向逆时针． （2）计算积分 $$ \iint_{S}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} s $$ 其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z \geqslant 0), \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲线的外法线的方向余弦． （3）设 $S$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中具有光滑定向边界 $\displaystyle \partial S$ 的光滑定向曲面，$S$ 与 $\displaystyle \partial S$ 的定向满足右手规则，假设 $\displaystyle f, g$ 在包含 $S$的区域中分别满足偏导数连续和二阶偏导数连续。证明 $$ \int_{\partial S} f \nabla g \overrightarrow{\mathrm{~d} s}=\iint_{S} \nabla f \times g \vec{n} \mathrm{~d} s $$ 其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位法向量．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：存在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $$ \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow 0} \int_{a}^{c} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x, \forall c \in[a, b] $$

七．（15 分）（1）求 $$ f(x, y)=\frac{1}{y^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2 y^{2}}\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]} $$ 在 $\displaystyle D=\left\{f(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, y>0\right\}$ 上的最值； （2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 及其二阶偏导数在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle f(0,0)=0,\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right| \leqslant 2|x-y|,\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leqslant 2|x-y|$ ，证明：$\displaystyle |f(5,4)| \leqslant 1$ ．

三．（ 15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明： （1）若 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）设 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ，证存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．

二．（15 分）证明 $\displaystyle f(x)=\ln x$ 在 $\displaystyle \delta>0,[\delta,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1], f(0)>0, f(1)<0$ ，用两种方法证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi^{2}$ ．

八．（15分）设 $$ f(x)= \begin{cases}x^{4}, & x \in Q \\ 0, & x \in \mathbb{R} \backslash Q\end{cases} $$ 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 不连续．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，证明： （1）若 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ； （2）证明 $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right|\right\}$ ．

一．（15 分）（1）求 $\displaystyle \left\{\frac{n-1}{n+1} \cos \frac{2 n \pi}{3}\right\}$ 的上确界，并证明． （2）证明在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上， $\displaystyle \sup \{-f(x)\}=-\inf \{f(x)\}$ ． （3）求 $\displaystyle \left\{a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}\right\}$ 的上极限，并证明．

七．（15 分）用提示的三种方法证明 $\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的极限趋于无穷． （1）反证法； （2）柯西收敛原理； （3）单调数列； （4）正项级数收敛判别； （5）其他方法．

三．（20 分）$\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界吗？若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界吗？证明你的结论．

二．（15 分）$\displaystyle f(x), g(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续吗？若 $\displaystyle (a, b)$ 是无穷区间呢？证明你的结论．

1．应用有限覆盖定理；

3．应用区间套定理；

4．应用 Cauchy 收敛准则；

5．应用确界存在定理；

6．应用单调有界原理．

六．（15 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调上升，$\displaystyle f(0)>0, f(1)<1$ ．按提示用两种方法证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi^{2}$. 提示：

十．（15 分）（1）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内的分段光滑曲线，证明积分 $$ I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y $$ 与 $L$ 的路径无关，并计算 $L$ 从 $\displaystyle (1,1)$ 到 $\displaystyle (2,0.5)$ 时的上述积分． （2）计算 $$ I=\iint_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 是由 $\displaystyle x o y$ 平面的曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成曲面的外侧． （3）计算 $$ I=\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z $$ 其中 $L$ 是曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看 $L$ 的方向是逆时针方向．

四．（15 分）设函数 $f$ 于 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导．求证： （1）若 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ，则存在 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ． （2）若 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ，则存在 $\displaystyle \xi>0$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．

三．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足： （1）$\displaystyle -\infty<a \leqslant f(x) \leqslant b<+\infty(a \leqslant b)$ ． （2）$\displaystyle |f(x)-f(y)|<|x-y|,(x, y \in[a, b], x \neq y)$ ． 取 $\displaystyle x_{1} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right)(n \geqslant 1)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x^{*}$ 存在且 $\displaystyle x^{*}=f\left(x^{*}\right)$ ．

九．（15 分）求证 $$ \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right) $$

二．（15 分）给定函数 $$ f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases} $$ 求证 $f$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 处不连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，并且 $\displaystyle \forall x \in[a, b], \exists y \in[a, b]$ ，s．t $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．

八．（15 分）求证 $$ \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sin \pi x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x $$

六．（15 分）对数列 $\displaystyle \left\{a_{k}\right\},\left\{b_{k}\right\}$ 定义 $\displaystyle a_{k}=b_{k+1}-b_{k}$ ．求证：若 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}$ 与 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|b_{k}\right|$ 都收敛，则 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} b_{k}$ 也收敛．

十．（15 分）（1）计算曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为半球面 $\displaystyle Z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧． （2）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内分段光滑曲线，证明积分 $$ I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y $$ 与 $L$ 的路径无关．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 的定义域为 $\displaystyle [a, b]$ ，若满足 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|^{\theta}$ ．当 $\displaystyle 0<\theta \leqslant 1$ 时称满足 Lipsditz 条件，为什么 $\displaystyle \theta$ 不能取大于 1 ．

2．对任意有理数列 $\left\{r_{n}\right\}, r_{n} \rightarrow 0$ 且 $r_{n} \neq 0$ ，若 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{f\left(x_{0}+r_{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{r_{n}}$ 存在，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在．

五．（15 分）（1）证明 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x $$ 这里 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n}\right)$ ．

一．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ ，用 $\displaystyle \delta, \varepsilon$ 定义证明 $$ \lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{A}} $$

七．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内处处存在有意义，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可取到最大值与最小值．

三．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 内连续且有渐近线 $\displaystyle y=a x+b$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

二．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且存在周期 $T$ ． （1）证明 $\displaystyle \{x \mid \forall T>0, f(x)=f(x+T)\}$ 为非空集； （2）证明 $\displaystyle f(x)$ 存在最小正周期 $T$ ； （3）若去掉＂连续＂这个条件，（2）的结论是否成立，成立请证明；不成立举反例．

五．设 $\displaystyle \max _{a \leqslant x \leqslant b} f(x)=M$ ，试证明 $$ M=\sqrt[n]{\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x} $$

四．已知 $\displaystyle x>-1$ ，证明： （1） $\displaystyle \ln (1+x) \leqslant x$ ； （2）$\displaystyle \left|\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}\right|=\frac{1}{2}$ ．

1．$f(x)$ 在 $x=0$ 的任意邻域上无界，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷大．

2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的无穷多个子列都收玫于 $a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a$ ．

3．设 $f(x)$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 上处处可导，则 $f^{\prime}(x)$ 有界．

5．设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数都存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续．

2． $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上存在，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．

2．讨论 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的可微性．

2．设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1} a_{1}+\sqrt{2} a_{2}+\cdots+\sqrt{n} a_{n}}{n^{3 / 2}}=\frac{2}{3} a . $$

3．设 $\displaystyle f(x)=|\sin x| / x$ ． （1）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 与 $\displaystyle (0,1)$ 上分别一致進线； （2）判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上是否一致逢续，并说明理由。

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且负训逆增，用三种方法证明： $$ \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x $$

7．设醑数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逢续，且而数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收说，证明： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a)$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收敛； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在闭区问 $\displaystyle [a, b]$ 上一致改敦。

8．设 $D$ 为闭区域 $\displaystyle (\xi-x)^{2}+(\eta-y)^{2} \leqslant r^{2} . L$ 为 $D$ 的正向边㓷。设 $\displaystyle f(\xi, \eta)$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上的逢续函数。定义 $$ F(x, y)=\iint_{D} f(\xi, \eta) \mathrm{ds} . $$ 证明： （1）$\displaystyle \partial F / \partial x=\int_{L} f d \eta, \partial F / \partial y=-\int_{L} f d \xi$ ； （2）$\displaystyle \partial F / \partial x, \partial F / \partial y$ 关于 $\displaystyle x, y$ 途续．

一、用 $\displaystyle \varepsilon-N$ 定义证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^{2}}=1$ ．

七、解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $\displaystyle R>0$ ，求 $$ F(x)=\frac{f(x)}{1-x} $$ 的幂级数展开，并讨论该级数的收玫半径． （2）若 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=1, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明： $$ \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{\left|S_{n}\right|}=1 . $$

三、设 $n$ 是一个给定的正整数，且 $$ f(x)= \begin{cases}x^{n} \sin (\ln |x|), & x \neq 0 \\ 0, & , x=0\end{cases} $$ （1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{n^{2}+1} \cdot x^{n-k} \sin (\ln |x|+\alpha), x \neq 0$ ，求 $k$ 和 $\displaystyle \tan \alpha$ ． （2）当 $\displaystyle x \neq 0$ 时，求 $\displaystyle f^{(m)}(x), ~ m$ 是不超过 $n$ 的任一正整数，即 $\displaystyle m \leq n, n \in \mathbb{N}^{*}$ 。 （3）证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在 $\displaystyle 1,2, \cdots, n-1$ 阶导，但不存在 $n$ 阶导。

二、解答如下问题： （1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n} \in[a, b]$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得： $$ f(\xi)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) $$ （2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 且单调，使得 $\displaystyle a \leq x_{n} \leq b, ~ g\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n+1}\right)$ ，证明：存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。

五、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(b)=-f^{\prime}(a)$ ． （1）分别用 $\displaystyle a, b$ 两点的泰勒公式表达 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ ． （2）若增加条件：$\displaystyle f^{\prime}(a) \neq 0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, d$, 着，彼等 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|=\frac{4|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}} $$

六、已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫。

四、设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，若 $\displaystyle \forall g(x) \in C[a, b]$ 且 $$ \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0 \text {, 则 } \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \text {. } $$ 证明：（1）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得 $$ \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=f(c) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x $$ （2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为常值函数．

1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

3．设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界。

1．证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。

2．若积分 $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 至少有两个零点．

六、证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)}\right)$ 收玫，并且其级数和小于1．

四、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致连续且有界，证明：$\displaystyle f(g(x))$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，若去掉＂$\displaystyle g(x)$ 有界＂，则 $\displaystyle f(g(x))$ 是否一致连续？正确请给出证明，错误请给出反例。

1．判断题．正确的给出证明，错误的给出反例． （1）设 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ ，若数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）两个在 $\displaystyle x_{0}$ 附近无界的函数之积仍为无界函数。 （3）若 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续，$\displaystyle u=g(y)$ 在点 $\displaystyle y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 不连续，则复合函数 $\displaystyle u=g(f(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续． （4）一元函数的定积分，若 $\displaystyle |f(x)|$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 可积． （5）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个二次极限都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的二重极限也存在．

2．解答如下问题： （1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界． （2）用两种方法证明函数 $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．

4．分别从微分学和积分学的角度，用五种方法证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{x} \geq 1+x$ ．

5．若对 $\displaystyle \forall x \in(a, b)$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x) \geq 0, f^{\prime \prime}(x) \leq 0$ ．求证：$\displaystyle f(x) \leq \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ －

6．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且无极大值点，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset(a, b)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\inf _{a<x<b} f(x)$ － （1）用肯定语言叙述 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq \bar{x}$ 的 $\displaystyle \varepsilon-N$ 定义． （2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，是否有 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ？如果有，请加以证明，否则请举反例． （3）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．

7．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_{n}}$ 收玫．记 $$ A_{n}=\sum_{k=1}^{n} p_{k}, B_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{A_{k}^{2}}, C_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_{k}}, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{A_{k}} $$ 证明： （1）$\displaystyle B_{n}<\frac{5}{p_{1}}+2 S_{n}+C_{n}$ ． （2）$\displaystyle S_{n}<\sqrt{B_{n} C_{n}}$ ． （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 收敛。

8．证明： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛．（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \frac{\ln x}{1+|\ln (-\ln x)|}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

9．设 $\displaystyle I(k, a)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-k x} \frac{\sin a x}{x} \mathrm{~d} x$ ． （1）证明：对固定的 $\displaystyle k \in[0,+\infty)$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $a$ 在 $\displaystyle |a| \geq \delta(\delta>0)$ 上一致收敛．对固定的 $\displaystyle a \neq 0$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $k$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫． （2）计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值．

七．设函数 $\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}, x \in(1,+\infty)$ ． （1）证明：$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续． （2）证明：$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上可微． （3）$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上是否一致连续？说明理由．

九．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+x y)}{x}, & x \neq 0 ; \\ y, & x=0 .\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．

二．解答如下问题： （1）证明：如果函数 $\displaystyle f(x)$ 满足：对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle \delta_{x}>0$ 与 $\displaystyle M_{x}>0$ ，使得 $$ |f(t)|<M_{x}, \forall t \in\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right) \cap[a, b] $$ 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）如果（1）中 $\displaystyle [a, b]$ 换成 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否成立？成立给出证明，不成立给出反例． （3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 满足在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上任意一点都存在极限，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否有界？肯定给出证明，否定给出反例．

五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对某点 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $\displaystyle f(a)=0$ ，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为 0 ．

1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

1．证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。

2．若积分 $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 至少有两个零点．

10、设 $\displaystyle B(0,1)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 以及光滑单位向量场 $\displaystyle \vec{u}=(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))$ 满足 $\displaystyle u_{x}^{\prime}+v_{y}^{\prime}+w_{z}^{\prime}=0$ ，若还有 $$ (\vec{u} \cdot \vec{n})(x, y, z)=0,(\forall(x, y, z) \in \partial B(0,1)) $$ 证明 $\displaystyle \iiint_{B(0,1)}[(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}] \cdot \vec{u} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ，其中 $\displaystyle \vec{u} \cdot \nabla=u \frac{\partial}{\partial x}+v \frac{\partial}{\partial y}+w \frac{\partial}{\partial z}$ ．

2、证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，有 $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1$ ．

7、令函数 $f$ 为定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的连续函数，证明：对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{t}, \mathbf{u} \in \mathbf{R}^{+}$，有 $$ \int_{0}^{x} \mathrm{~d} v \int_{0}^{v} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_{0}^{x}(x-t)^{2} f(t) \mathrm{d} t $$

七．（15 分）令 $\displaystyle B_{R}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq R^{2}\right\}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的半径为 $R$ 的闭球，$\displaystyle R>0$ ．设 $\displaystyle f(\mathbf{x})$ 是 $\displaystyle B_{2}$ 上的连续函数，满足条件：对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{2}$ ，成立 $\displaystyle \frac{f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y})}{2} \geq f\left(\frac{\mathbf{x}+\mathbf{y}}{2}\right)$ ．证明： （1）对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{2}$ 和任意的 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，成立 $\displaystyle \lambda f(\mathbf{x})+(1-\lambda) f(\mathbf{y}) \geq f(\lambda \mathbf{x}+(1-\lambda) \mathbf{y})$ ． （2）存在一个常数 $\displaystyle C>0$ ，使得如下不等式成立： $$ |f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})| \leq C\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|, \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{1} . $$ 这里 $\displaystyle \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|$ 表示 $\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 和 $\displaystyle \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right)$ 之间的距离 $\displaystyle \sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}}$ ．

三．（ 15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \cos \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在（ 0,1 ）上有定义，$\displaystyle f(x) \tan x$ 单调递增， $\displaystyle \tan (f(x))$ 单调递减，证明：$\displaystyle f(x)$ 在（ 0,1 ）上连续。

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x+n)=0$ ，证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n) \mid n \geq 1\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0.

六．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{a_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义，且存在不依赖于 $\displaystyle x, n$ 的常数 $K$ ，使得 $$ \left|a_{1}(x)\right| \leq K, \sum_{n=1}^{m}\left|a_{n}(x)-a_{n+1}(x)\right| \leq K, \forall m \geq 1 $$ 证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛，$\displaystyle c_{n} \geq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。

九．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上满足利普希茨条件，即存在某一个常数 $\displaystyle L>0$ ，使对于任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq L\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ，证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．

八．设 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2,3, \cdots$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l, l$ 为常数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=l$ ．

十．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ ，证明： $$ f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty) $$ 十一。设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上有 $\displaystyle n+1$ 阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0, f^{(n+1)}(0) \neq 0$ ，由微分中值定理，对 $\displaystyle |x|<\delta$ ，存在 $\displaystyle \theta \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(x)-f(0)=f^{\prime}(\theta x) x$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．

十三．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的一个邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ ．

十二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明： $$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} . $$

十五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明： （1）存在 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ． （2）存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，使得对任意的 $\displaystyle \delta>0, f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 无界．

十四．设函数 $\displaystyle f_{n}(x)=x n^{k} e^{-n x}$ ，其中 $k$ 为常数，讨论 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收玫性．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收玫．

2．设函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \arctan x)}{2^{x}-1}$ ．

4．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $0 \leq z \leq 1$ 的部分，方向取下侧．

2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可微，$f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1} f(x)=-1$ ．证明： $$ \min _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \leq 8, \max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geq 8 $$

4．解答如下问题： （1）叙述 $\mathbb{R}^{2}$ 的聚点定理． （2）利用聚点定理证明二元函数 $f$ 在有界闭域 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 连续则一致连续．

5．设函数 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界可积，证明： $\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} \varphi(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ ．

7．解答如下问题： （1）若函数 $f(x)$ 满足以下条件：（i）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的邻域 $U\left(x_{0}\right)$ 连续；（ii）在 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 可导；（iii）极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ 存在．证明：$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ ． （2）若函数 $f(x)$ 只满足本题（1）中条件（i）和（ii），但不满足（iii），则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 不可导，是否正确？请给出理由。

二．证明题．前 6 道题每题 15 分，最后 1 道 20 分，共 110 分．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且连续可导，证明： $$ \left|\int_{a}^{b} f^{3}(x) \mathrm{d} x-f(a)^{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq 2 \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|\left[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2} $$

7．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域内连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，求证： $$ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \text { 的敛散性 } $$

8．设 $D$ 为由 $\displaystyle y=x^{2}, y=2 x^{2}, x y=1, x y=4$ 构成的区域，证明： $$ \int_{\partial D} \frac{f(x y)}{x} \mathrm{~d} x=-\frac{\ln 2}{3} \int_{1}^{4} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x $$

9．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间上点态收敛到 $\displaystyle f(x), f_{n}(x), f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调，证明： $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛到 $\displaystyle f(x)$.

1．设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=1$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．

1．（15 分）证明： $\operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{c}-1, x<0 \\ 0, x=0 \\ 1, x>0\end{array}\right.$ 在 $[-1,1]$ 上黎曼可积，但在 $[-1,1]$ 上没有原函数．

2．（15分）已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值．

3．（15 分）判断 $\alpha$ 取何值时，函数列 $f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收玫．

4．（15 分）（1）（5 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 满足对任意 $n \geq 1$ ，都有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$与 $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均收玫，判断 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是否收玫； （2）（10 分）对于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ，根据 $p$ 的值讨论该级数何时条件收敛？何时绝对收敛？

10．（15 分）设 $D$ 是平面区域，$\displaystyle u(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，且在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数。证明：$\displaystyle u(x, y)$ 在 $D$ 上满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为对于任意 $D$ 内的圆周 $L$ ，且 $L$ 所围圆 $O$ 含于 $D$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ，其中 $n$ 取圆周 $L$ 的外法向．

2．（15 分）设 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<+\infty$ ，证明：$\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \leq \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ．

3．（15 分）证明：对任意的 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle 1+x^{2} \leq 2^{x}$ ．

5．（15 分）设对于任意的正整数 $\displaystyle n, f_{n}(x)$ 均为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的黎曼可积函数，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于函数 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的黎曼可积函数．

8．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为定义在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上的二元函数，在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数，且 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极小值点．证明： $$ f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+2 f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \geq 0 $$

9．（15 分）设反常积分 $$ I=\iiint_{D} \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x\right\}$ ．证明反常积分 $I$ 收玫，并求出 $I$ 的值．

1．设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{5}, x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且成立等式 $\displaystyle x_{n+1}^{2}-5 x_{n}-6=0$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限．

10．设区域 $\displaystyle \Omega$ 由分片光滑的封闭曲面 $\displaystyle \Sigma$ 围成，$\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上具有二阶连续偏导数，且在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0 $$ （1）证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量． （2）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Omega$ 为一定点，证明： $$ u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}$ ．

3．设广义积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续导数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明： （1） $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$. （2） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(a \cos x+b \sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．

5．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} f(\sqrt{\sqrt[n]{2}-1})$发散．

6．设 $\displaystyle u_{n}(x)(n=1,2,3, \cdots)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调，且函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 和 $\displaystyle x=b$ 处收玫． （1）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{3} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛，其中 $\displaystyle 0<a<2 \ln ^{3} 2$ ．

7．设一元函数 $\displaystyle y=\varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 附近有定义，$\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且在 $\displaystyle x=0$ 附近满足 $\displaystyle |\varphi(x)| \leq x^{2}$ ，定义二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\varphi\left(\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right), & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微，并证明．

2．解答如下问题： （1）设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle e^{x^{2}+y}-x^{2} y=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ； （2）设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t(1-\sin t) ; \\ y=t \cos t .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

5．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ （1）在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 一致收敛（其中 $\displaystyle \delta>0$ ）； （2）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 非一致收敛。

6．叙述非空数集 $E$ 的下确界定义，并证明：若 $E$ 为有界非空数集，实数 $\displaystyle \alpha=\inf E$（ $E$ 的下确界），且 $\displaystyle \alpha \notin E$ ，则在 $E$ 中可选取严格单调递减数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\alpha$ ．

7．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导（其中 $a$ 是给定的实数），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ，试证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．

8．解答如下问题： （1）假设 $f$ 与 $g$ 都是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，证明： $$ \left|\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right|^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x . $$ （2）对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在常数 $\displaystyle C_{\varepsilon}>0$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in C^{1}[a, b]$ ，有 $$ \sup _{x \in[a, b]}|f(x)|^{2} \leq C_{\varepsilon} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x+\varepsilon \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x $$

八．（20 分）设 $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}, E(s)=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-p_{n}^{s}}, s>1$ ，其中 $\displaystyle p_{n}$ 为第 $n$ 个质数。 （1）证明：$\displaystyle \zeta(s)$ 与 $\displaystyle E(s)$ 均收敛． （2）证明：$\displaystyle \zeta(s)=E(s)$ ．

六．（15分）叙述 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 存在且有限的柯西收敛准则并证明．

四．（15 分）已知 $\displaystyle \Sigma$ 为封闭曲面，$l$ 为固定向量，$n$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 的外法向量，证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \cos (n, l) \mathrm{d} S=0$ ．

七．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $I$ 上的凸函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在区间 $I$ 的任一闭子区间上有界．

九．（15分）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ． （1）（9分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续． （2）（6 分）证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 发散．

八．（15 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上存在二阶连续的导数，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 有界．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$.

四．（10分）证明不等式：$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x, x>0$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （1）（10 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）（10 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一定有最大值和最小值．

8．（10 分）求 $\displaystyle \cos x$ 的全部零点的倒数平方之和．

10．（15 分）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n\left(1+x^{n}\right)}$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．

11．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，常数 $\displaystyle a, b>0$ ． （1）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \ln \frac{b}{a}$ ． （2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(2 x^{2}\right)-\arctan \left(x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x$ ．

5．（10 分）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=F\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 确定，其中 $\displaystyle F(u)$ 为可导函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数．证明：函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $$ (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y $$

6．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有二阶连续导数，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得 $$ \left|f(0)+f(1)-2 f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \frac{1}{4}\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| $$

7．（ 15 分）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}(n \geq 0)$ ． （1）证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ． （2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \sqrt{3-x_{n}}$ 的玫散性，如果收敛，判断是绝对收玫还是条件收敛。

8．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．且每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ．

9．（20分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导．$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a)>0, f_{-}^{\prime}(b)>0$ ． （1）证明：存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(c)=0$ ． （2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ． （3）证明：存在 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0, f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)>0$ ．

10．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连终，令 $\displaystyle \varphi_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1-x)^{n}, & 0 \leq x \leq 1 ; \\ (1+x)^{n}, & -1 \leq x \leq 0 .\end{array}\right.$ 证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0) $$

11．数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+2 a_{n-2}(n \geq 2)$ ． （1）证明：$\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \leq a_{n} \leq 3^{n-1}$ ． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln a_{n}}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛。 （3）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ 存在，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径以及收玫区间内的和函数．

12．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是凸函数，$\displaystyle f(x) g(x)$ 和 $\displaystyle f(g(x))$ 是否是凸函数？若不是，给出反例．对于 $\displaystyle f(g(x))$ ，如何加一个充分条件，使之成为凸函数？给出证明． （2）证明：实数域上的有界凸函数必是常值函数．

3．级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

4．空间曲面 $x y+e^{z}-z=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．

2．计算二重积分 $$ I=\iint_{\substack{1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \\ y \leq x}} \sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

5．讨论 $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x^{y}(\pi-x)^{2-y}} \mathrm{~d} x$ 的连续范围．

3．已知 $f \in \mathbb{C}[0,1]$ ，且 $f(1)=0$ ，证明：函数列 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

2．已知 $f \in C^{1}[0,1], f^{(n)}(0)=0, n=0,1,2, \cdots, M$ 为大于 0 的常数，且 $\forall x \in[0,1]$ ，有 $$ \left|x^{\alpha} f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)| $$ （1）若 $\alpha=1$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^{n}}=0(n=0,1,2, \cdots)$ ，并进一步证明 $f(x) \equiv 0, \forall x \in[0,1]$ ； （2）若 $\alpha>1$ ，证明：$f(x) \equiv 0$ 可以不成立．

3． $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\int_{\cos x}^{1} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}$ $\_\_\_\_$ ．

4．曲面 $z-e^{z}-x y+3=0$ 在点 $(2,1,0)$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．

1．求使得不等式 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha}>e$ 对所有正整数 $n$ 都成立的最小的数 $\alpha$ ．

2．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $$ 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0 $$ 确定的二元函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点与极值．

5．求定积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-x}{\ln x} \mathrm{~d} x$ ．

3．若 $p>1$ ，证明：数项级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin \left(2 \pi \sqrt{n^{2}+1}\right)}{(\ln n)^{p}}$ 收敛．

5．级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}=$ $\_\_\_\_$。

6．将 $f(x)=\pi-x, x \in(0, \pi)$ 展开成正弦级数 $\_\_\_\_$ ，并写出和函数 $\_\_\_\_$ ．

7．方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x y+y+y^{2} z=0 ; \\ x^{y}+y z-z^{2}+5=0 . \end{array} \quad(\text { 可能有误 })\right. $$ 在点 $P(1,-2,1)$ 附近能否唯一确定隐函数组？

8．计算曲线积分 $$ \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}} $$ 其中 $L: x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向．

9．求 $x+2 y=1$ 与 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 相交曲线上到原点距离最小的点．

10．判断数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sin ^{2} n}{n}$ 的玫散性，若收敛需要判断是条件收玫还是绝对收敛．

5．已知 $f(x)=x(\pi-x), x \in[0, \pi]$ ，展开为余弦级数为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知 $b>a>0$ ，计算 $\int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

7．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}: a_{1}=0, a_{2 m}=\frac{a_{2 m-1}}{2}, a_{2 m+1}=\frac{1}{2}+a_{2 m}$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的上下极限．

8．求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\tan u^{2}} \mathrm{~d} u$ ．

9．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{j}{j^{2}+k^{2}}$ ．

10．计算 $\int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为椭圆 $x^{2}-4 x+4 y^{2}=0$ ，取逆时针方向．

3． $\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

4、 $u=\ln (x+y)$ ，求 $\left.d u\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．

5、幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．

6． $\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x-\cos 2 x}{x^{2}} d x=$ $\_\_\_\_$。

7、 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(n x) d x$ ．

10、求 $\iint_{\Sigma} \frac{1}{x} d y d z+\frac{1}{y} d z d x+\frac{1}{z} d x d y, \Sigma$ 为椭球 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 外侧．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时有渐近线 $\displaystyle y=b x+c$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

3．证明：方程 $\displaystyle 3^{x}+7^{x}=2 \cdot 5^{x}$ 的实根只有 0 和 1 ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且恒正，证明：对任意的正整数 $n$ ，存在 $\displaystyle \xi_{n} \in(0,1)$ ，使得 $$ \frac{1}{n} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\xi_{n}} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\xi_{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x $$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \xi_{n}=\frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{f(0)+f(1)}$ ．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n \int_{x}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为连续可微的 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数列，且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．

8．设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有连续的偏导数，且满足 $\displaystyle -y \frac{\partial f}{\partial x}+x \frac{\partial f}{\partial y}+b \frac{\partial f}{\partial z} \geq c$ ，其中 $\displaystyle b, c$ 为正实数，证明：当 $\displaystyle (x, y, z)$ 沿着 $\displaystyle x=b \cos t, y=b \sin t, z=b t, t \in[0,+\infty)$ 趋于无穷时，$\displaystyle f(x, y, z) \rightarrow+\infty$ ．

一、（15 分）证明： $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

二、（15分）设 $\displaystyle f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足对任意的 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle f(0, a) \leq f(0,0) \leq f(a, 0)$ ． 证明： $\displaystyle \sup _{b \in \mathbb{R}} \inf _{a \in \mathbb{R}} f(a, b)=\inf _{a \in \mathbb{R}} \sup _{b \in \mathbb{R}} f(a, b)$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上是非负的单调递减函数，记 $\displaystyle x_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(t) \mathrm{d} t$ ． 证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。

十、（15分）在空间直角坐标系中，已知方程 $\displaystyle \cos (3 x+2 z)=h(4 y-z)$ 且函数 $h$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上可微，证明：上述方程表示空间中的一个柱面． 公众号•考研竞赛数学

四、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n x)}{\sqrt{n^{3}+n}}$ ，证明： （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续． （2）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{15}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

1、已知 $\displaystyle y=x^{2} \ln x$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d}^{n} y$ ．

10、证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2} \ln n}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。

11、设函数 $\displaystyle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的偏导数，且对于任意的光滑封闭曲面 $S$ ，均有 $$ \iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 $$ 证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上，有 $\displaystyle P_{x}+Q_{y}+R_{z} \equiv 0$ ．

7、已知 $\displaystyle f(\mathbf{x})$ 在 $\displaystyle [\mathbf{a}, \mathbf{b}]$ 上连续，在 $\displaystyle (\mathbf{a}, \mathbf{b})$ 上二阶可导，且 $$ f(b)=0, F(x)=(x-a)^{2} f(x) $$ 证明：存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle F^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．

8、已知 $\displaystyle a_{1}=7, a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}},(n=1,2, \cdots)$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限存在，并求其值．

9、已知 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ ，证明：在 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 上距离原点最近的点的法线经过原点．

七．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积和绝对可积，若有 $$ f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right), x \in[-\pi, \pi] . $$ 证明： $$ f^{\prime}(x) \sim \frac{c}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(n b_{n}+(-1)^{n} c\right) \cos n x-n a_{n} \sin n x\right], x \in[-\pi, \pi] . $$ 其中 $\displaystyle c=\frac{f(-\pi)+f(\pi)}{\pi}$ ，且 $\displaystyle c=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(-1)^{n-1} n b_{n}\right]$ ．

三．（15 分）解答如下问题： （1）证明：对任意给定的正整数 $n$ ，方程 $\displaystyle x^{n+1}+x^{n}+\cdots+x=1$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上存在唯一的根，记为 $\displaystyle x_{n}$ ． （2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ ．

二．（10 分）证明：$\displaystyle f(x)=x \sin x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上不一致连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，满足 $$ f^{\prime}(x)+f(x) \sin x=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1] $$ 且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0,1]$ ．

六．（10 分）证明：当 $\displaystyle \lambda<1$ 时， $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} R^{\lambda} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-R \sin \theta} \mathrm{~d} \theta=0$ ．

十．（10 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x) \geq 0(n=1,2, \cdots)$ 与函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且黎曼可积，对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [c, b]$ 上一致收敛于 0 ，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1, \lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=A $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) f_{n}(x) \mathrm{d} x=A$ ． 十一。（10 分）设积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且存在 $\displaystyle A>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [A,+\infty)$ 上非负，存在 $\displaystyle 0<p<1$ 使得当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle x^{p} f(x)$ 单调递减趋于零，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ． 十二。（10 分）设 $\displaystyle \left.f_{n}(x)\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且对任意给定的 $\displaystyle x \in[a, b],\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递增。证明：如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。

四．（12 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，沿任何方向的方向导数存在，但不可微．

2．求不定积分 $\int \sqrt{1-x^{2}} d x$ ．

3．求函数 $f(x)=\int_{0}^{x} u(\ln u+1) d u$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的最大值或最小值．

4．求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ 的收敛域与和函数．

5．求曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 在点 $(2,-1,6)$ 处的切平面及法线方程．

四、（本题满分 15 分）证明无穷积分 $\displaystyle J=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt[3]{x}} d x$ 条件收敛。

5．求曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=\frac{4}{3} t^{3}$ 上与平面 $x+2 y+z=1$ 平行的切线方程．

7．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{n}{2}} \cos ^{n} x d x$ ．

2．讨论 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 的可微性．

3．证明：$f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续，但在 $(a,+\infty), a>0$ 上一致连续。

7．计算 $=$ 重积分 $\iint_{D} \frac{1+x^{2021} y^{2022}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ （ 10 分）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足条件：$x_{n}>0, x_{n}+\frac{1}{4 x_{n+1}}<1\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right)$， 证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值。

六．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) d y$ ，其中 $L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 按 $x$ 增大方向。 絮 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ （2）方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上存在两个实根。 入．设 立为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=1, z=2$ 之间的外侧表面，求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d x d z+z^{3} d x d y$ ．

2．设函数 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=6$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$.

3．设 $f(\ln x)=x \ln (1+x)$ ，求不定积分 $\int f(x) \mathrm{d} x$ ．

4、求由方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的极值点和极值．

6、求曲面 $z=x y^{3}$ 上一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，使得曲面过 $P_{0}$ 的法线垂直于平面 $x+3 y-z=1$ ，并求曲面过 $P_{0}$ 的法线方程．

三．（本题满分 14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [1,2]$ 上具有二阶连续导数，且 $$ f(1)=f(2)=\int_{1}^{2} f(x) d x $$ 证明：存在 $\displaystyle \xi \in(1,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

九．（本题满分 15 分）考虑方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z+\sin z=0$ ． （1）证明该方程在 $\displaystyle (0,0,0)$ 点附近惟一确定了隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ； （2）将 $\displaystyle z(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点展开至二阶的带皮亚诺余项的泰勒级数。

二．（本题满分 12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，证明：至少存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ ．

八．（本题满分 15 分）设含参量积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (\alpha x)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x, \alpha \in(0,+\infty)$ ． （1）证明：$\displaystyle I(\alpha)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导； （2）求出 $\displaystyle I(\alpha)$ 的表达式．

六．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, n \in N$ ，证明： （1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 0 ； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．

四．（本题满分 14 分）设 $D$ 是由两条直线 $\displaystyle y=x, y=2 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1$ ， $\displaystyle x y=2$ 围成的区域。 $\displaystyle F(u)$ 连续可微 $\displaystyle F^{\prime}(u)=f(u)$ 。证明： $$ \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} d y=\frac{\ln 2}{2} \int_{1}^{2} f(u) d u, $$ 其中 $\displaystyle \partial D$ 方向取逆时针方向．

二、（10 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有有界导函数，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x \ln x}=0$ ．

六、（15 分）$\displaystyle f(t)=\int_{1}^{+\infty} e^{-x} \cdot \frac{\cos x}{x^{2}} d x$ ． （9 分）1、证明：$\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。 （6 分）2、证明：$\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微。

一、求 $\displaystyle f_{z y}(0,0)$ 和 $\displaystyle f_{y x}(0,0)$ ，其中 $$ f(x, y)= \begin{cases}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$

二、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1$ 上有连续二阶偏导数，且 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} $$ 证明： $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 e}$ ．

五、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x) \ln x\right]=l $$ 证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．

八、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数 $$ f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(1)=1 $$ 证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \geq 4$ ．

六、证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上连续，目有连续的导数。

2、（20分）求积分： $\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $$ D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 3 $$

2．计算第一类曲面积分： $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中曲面 $\sum$ 是左半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \leq 0$ ．

3．若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明： $$ \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x $$ 并求： $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin ^{2 n} x}{\sin ^{2 n} x+\cos ^{2 n} x} \mathrm{~d} x$ ．

2、求定积分 $I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

3、若 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可微函数且 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}\right\}, ~ t>0$ ． （1）计算 $F^{\prime}(t)$ （2）若 $f^{\prime}(0)=0$ ，计算极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{5}}$ ．

2、设 $f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，且在 $u=0$ 的附近满足：$|\varphi(u)| \leq u^{2}$ 。证明： $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 处可微。

2、设 $u_{n}(x)=x^{n} \ln x, x \in(0,1]$ ，讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1]$ 上的玫散性和 一致收敛性，并计算 $\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。

3、设 $u(x, y, z)$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 上的连续函数，而且它在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某个邻域上有连续的二阶偏导数，记 $\Sigma$ 是以 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为球心，$R$ 为半径的球面．令 $T(R)=\frac{1}{4 \pi R^{2}} \iint_{\Sigma} u(x, y, z) \mathrm{d} S, R>0$ ．证明： （1） $\lim _{R \rightarrow 0^{+}} T(R)=u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ． （2）若 $\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ，则 $$ \lim _{R \rightarrow 0^{+}} \frac{T(R)-u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}{R^{2}}=\frac{1}{6} \Delta u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) . $$ 其中 $\left.\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \neq 0$ ．

三、综合题。（每题 20 分，共 60 分）

二、证明题．（每题 15 分，共 45 分）

4．对于 $\displaystyle k>0$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}{n^{k}}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n^{k}}=0$ ．

5．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．

9、曲面 $\left\{\begin{array}{l}x=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \cos v \\ y=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \sin v, \text { 求 }(u, v)=\left(0, \frac{\pi}{4}\right) \text { 点处的切平面和法线方程．} \\ z=0.5\left(e^{u}-e^{-u}\right)\end{array}\right.$

10、求 $\iint_{\Sigma} \frac{1}{x} d y d z+\frac{1}{y} d z d x+\frac{1}{z} d x d y, \Sigma$ 为椭球 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 外侧．

11、 $K$ 为实数域，$F \subset K$ 为非空闭集，令 $d(x)=\inf \{|x-t|: t \in F\}$ ，证明 $d(x)$ 为连续函数．

12、 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 黎曼可积，在 $x=0$ 处连续，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) d x=f(0)$ ．

13、 $x \in[-\pi, \pi]$ ，判断级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos n x}{\ln n}$ 收敛性（绝对收敛、条件收敛、发散），证明其不可能为某个 $[-\pi, \pi]$ 上的黎曼函数的傅里叶级数．

14、证明 Dini 定理：$K$ 是一个非空紧集，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $K$ 上连续，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递减收敛于 0 ，证明函数列 $f_{n}(x)$ 在 $K$ 上一致收敛于 $f(x)=0$ ．

15、 $f(x)$ 是 $C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ 上的连续可微函数，$\Omega$ 是光滑的简单闭区域，若 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0, $$ 则 $f$ 称为 $\Omega$ 上的调和函数． （1）证明： $\int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{\Omega}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right) d \sigma$ ，其中 $n$ 是 $f$ 在 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量． （2）荐 $f$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，且二阶连续可微，证明： $$ f(x)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{\partial B(x, r)} f(x) d s=\frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{H(x, r)} f(x) d \sigma $$ 其中 $B(x, r)$ 是任意闭球，$x \in \partial \Omega$ ．

四．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ． （1）若 $A$ 有限，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ． （2）若 $\displaystyle A=+\infty$ 或 $\displaystyle -\infty$ ，请问（1）中的结论是否仍然成立？

10．证明曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}$ 的切平面与各轴所截的线段长度之和为常量．

11．证明有理数 $\displaystyle R(x)=\frac{a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}}{b_{0}+b_{1} x+\cdots+b_{n} x^{n}}$ 一定存在足够大的 $\displaystyle x_{0}$ 使得 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle \left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$和 $\displaystyle \left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ 分别单调．

12．已知 $\displaystyle f(x)$ 二阶可导，$\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{2}[f(x-h)+f(x+h)]$ ，证明 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ．

3．已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ ，证明 $\displaystyle x_{n}$ 收玫，并求出 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x_{n}$ ．

7．$\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2} x^{2}} d x$ 证明 $\displaystyle I(\alpha)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0, \mathrm{~b}]$ 上不一致收敛。

8．已知 $\displaystyle \sum a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k a_{k}}{n}=0$ ．

13．证明： $$ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<e, \quad \forall x>0 $$

14．对任意 $x$ 及 $h$ 均有 $$ f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}(x) $$ 证明：$\displaystyle f(x)=b x+c$ ，此处 $\displaystyle b, c$ 是常数

2．（20 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶连续，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x \geq 4$ ．

5．（20 分）设 $K$ 为 $n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的闭开子集，且 $\displaystyle K \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} u_{k}, u_{k}$ 为一簇开集，证明：存在 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，能够在 $K$ 中找到一个 $\displaystyle u_{k}$ 使其以 $\displaystyle \varepsilon$ 为半径，$x$ 为圆心的 $\displaystyle B(x, \varepsilon)$ 的开球集．

1．（15 分）设 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散，其中 $\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ．

2．（15 分）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln (n+1)(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．

3．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续可微函数，且满足 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \geq \frac{1}{e} $$

4．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有三阶连续导数，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．

5．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，满足 $$ f(x) \leq \int_{0}^{x} f(s) g(s) \mathrm{d} s, \forall x \geq 0 $$ 证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0,+\infty)$ ．

6．（20 分）记 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的点 $\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \mathbb{R}^{3}$ 中以原点为圆心，$\displaystyle r>0$ 为半径的开球记为 $\displaystyle B_{r}$ ，其边界为 $\displaystyle \partial B_{r}$ ．设 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ 具有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(\mathbf{x})=0, \forall x \in \partial B_{r}$ ，证明： $$ \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \iiint_{B_{r} \backslash B_{\varepsilon}} \frac{x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{x})}{|x|^{3}} \mathrm{~d} V=-4 \pi f(\mathbf{0}) $$

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，$\displaystyle a_{n}(n=0,1, \cdots), b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $f$ 的 Fourier 系数．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n}$ 均收敛。

3、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(\sqrt{n})=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上一致连续．

4、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在两个不同的点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{2024}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=2025$ ．

5、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1$ ，证明： $$ \int_{0}^{2} f(x) d x>1 $$

7、（15 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积函数列，且函数列在 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x$.

七．（15 分）设 $\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内有二阶连续的偏导数，且 $$ F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 $$ 证明：由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处取极值．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不同的 $\displaystyle \xi, \eta$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=1$ ．

十．（15 分）证明：$\displaystyle F(\lambda)=\int_{0}^{+\infty} \frac{1-e^{-\lambda t}}{t} \cos t \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，并且在 $\displaystyle [a, b]$ 上每一点的极限都存在且为 0 ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，并求 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。 （3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。 （4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。 （6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

三、证明下列各题（每小题 $\displaystyle \mathbf{1 3}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{7 8}$ 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[0,1]$ ．证明： $$ \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{n+1}\right), \forall n \in \mathbb{N}_{+} $$ （2）．设有数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ： $$ a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n+1}=\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}, n=2,3,4 \cdots $$ 证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （3）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(1)=1$ ，且当 $\displaystyle x \geqslant 1$ 时，有 $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有限且其极限小于 $\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}$ 收敛于 0 ．证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 $$ （5）．设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．如果对任何收敛于 0 的数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$绝对收敛。 （6）．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的函数列，且存在常数 $\displaystyle L \geqslant 0$ 满足： $$ \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant L|x-y|, x, y \in[a, b], n \in \mathbb{N}_{+} $$ 证明：（i）．若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ， （ii）．若对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 存在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛的子列．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）．如果 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}$，当 $\displaystyle n>N$ 时，有 $\displaystyle \left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）．如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}_{+}$，均有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （3）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点连续，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{\frac{1}{n}} $$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的右导数存在． （4）．如果函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle \exists \xi \in[a, b]$ ，使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x $$ （5）．如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在且有界，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$连续． （6）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的非负连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。

三、证明下列各题（每小题 13 分，共 78 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内每一点的左右极限都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 $$ 证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续． （3）．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，且 $$ a_{k} \leqslant a_{n} \quad \forall n<k \leqslant 2 n $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上都有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。 （5）．设 $\displaystyle \forall b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，令 $$ F(t)=t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) \mathrm{d} x $$ 证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} F(t)=\alpha$ ． （6）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ， $$ f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0 $$ 证明：（i）．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有且仅有两个零点， （ii）．存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

2．如果 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿任意方向的方向导数都存在，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在．

1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

1．若对任意的 $N$ ，总存在 $\varepsilon>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 成立，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．

2．若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且存在原函数，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续．

1．如果函数 $f(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 上连续且有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．

2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A \in \mathbb{R}$ 的充要条件是：对任何正整数 $k, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时有 $$ \left|a_{n}-A\right|<\frac{k}{k^{2}+1} $$

2．若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域商有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．

1．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a_{2 n}\right|<\varepsilon$ ．

2．若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，且有 $f(0)=f(2)$ ，则方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 有解．

3．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积．

1．已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ．求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(a+1 / n)}{f(a)}\right)^{n} $$

2．判断极限 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1} $$ 的存在性，若存在，给出证明过程，若不存在，说明理由．

七．证明含参变量积分 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle 0 \leq \alpha_{0} \leq \alpha<+\infty$ 上一致收敛，并说明在 $\displaystyle 0<\alpha<+\infty$ 是否一致收敛？

九．给出函数 $\displaystyle f(x)=2[x]-[2 x]$ 的最小正周期并证明．

八．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，且满足 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)<0<f_{-}^{\prime}(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

六．设 $\displaystyle a>1$ ，且 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{a}, & x \text { 为有理数 } \\ 0, & x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 的可微性．

十．设 $\displaystyle \alpha>0$ ，若 $\displaystyle n x_{n}=1+o\left(n^{-\alpha}\right)$ ，则数列 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-\ln n$ 收敛． 十一。设一元函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且存在两个正数 $\displaystyle A<B$ 满足 $\displaystyle A<\left|f^{\prime}(x)\right|<B$ ，证明： $\displaystyle f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上一致连续，但 $\displaystyle f\left(x^{3}+y^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上不一致连续．

十二．若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left(2-a_{n}\right) a_{n+1}=1$ ，证明： （a）存在正整数 $k$ ；使得 $\displaystyle a_{k} \leq 1$ ； （b）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 极限存在，并求其极限值； （c）若 $\displaystyle a_{1} \neq 1$ ，则 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$ 两两不等； （d）满足题设且 $\displaystyle a_{1} \neq 1$ 的数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 存在．

2．计算 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt[x]{\sec \sqrt{2 x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．计算 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $|a| \neq 1$ ，计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan (a \tan x)}{\tan x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

5．求和函数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}\left(x^{2}-1\right)^{2 n}=$ $\_\_\_\_$ ．

12．（16 分）设二元函数 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_{x}, f_{y}, f_{x y}$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处都连续．证明：$f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在，且 $f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．

13．（16 分）设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的有界单连通区域，其边界 $S$ 是一个光滑封闭曲面，$\vec{n}$ 是 $S$ 上动点 $Q(\xi, \eta, \zeta)$处的单位外法向量，$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为不在 $S$ 上的一点，$r=\sqrt{\left(\xi-x_{0}\right)^{2}+\left(\eta-y_{0}\right)^{2}+\left(\zeta-z_{0}\right)^{2}}$ ，证明： $\iiint_{\Omega} \frac{1}{r} \mathrm{~d} \xi \mathrm{~d} \eta \mathrm{~d} \zeta=\frac{1}{2} \iint_{S} \cos \angle(\overrightarrow{P Q}, \vec{n}) \mathrm{d} S$ ，其中 $\angle(\overrightarrow{P Q}, \vec{n})$ 表示向量 $\overrightarrow{P Q}$ 和 $\vec{n}$ 的夹角．

3．（15 分）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导且无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 也无界，反之则不然．

8．（ 15 分）证明函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在．但偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

9．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明不等式： $$ \left[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x $$ 其中等号当且仅当 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数时成立．

11．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ 。 （1）设 $\displaystyle a_{n} \geq 0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 是否一定收敛？收敛则证明，不收敛则举出反例。 （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 是否一定收敛？

13．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x(n \geq 2)$ （1）证明：$\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 有唯一实根 $\displaystyle x_{n}$ 。 （2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。

14．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶可导， $\displaystyle \min _{0 \leq x \leq 1} f(x)=-1$ 且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geq 8$ 。

15．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(x) \leq \int_{0}^{x} f(t) d t$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。

16．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], \sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(x)$ 收玫。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。

17．叙述有限覆盖定理，并用之证明任何有界无穷数列必有收敛子列。

8．已知 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，有界数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 发散，指出 $\displaystyle \left\{a_{n} b_{n}\right\}$ 发散的充要条件，并证明。

10．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调递增，且值域为 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

11．已知 $\displaystyle a_{1}>0$ ，且 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{4}{a_{n}}\right)$ ． （1）证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限； （2）考察级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的收玫性．

12．已知 $\displaystyle f_{x y}(x, y)$ 与 $\displaystyle f_{y x}(x, y)$ 均在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，证明 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．

13．设 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，且无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛． （1）证明存在趋近于 $\displaystyle +\infty$ 的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ． （2）请问是否一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？给出证明或反例．

14．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上至少有两个零点．

15．用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数有最大值与最小值．

七、设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的可积函数列，且一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x $$

五、设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，满足： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>1$ ，证明：此时交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．

六、设在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，函数上 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 单调递增，证明：$\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递增．

11．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 有界，$\displaystyle \left\{x_{2 n}+2 x_{n}\right\}$ 收敛，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限。

12．$\displaystyle f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 单调，证明：$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．

13．$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，下凸，且无极值点，证明：$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调．

14．设 $\displaystyle P(x, y)$ 和 $\displaystyle Q(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上具有连续的偏导数，且对任意 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ ，以及任意 $\displaystyle r>0$ ，总有 $$ \int_{L} P \mathrm{~d} x+C C^{9} y=0 $$ 其中 $L$ 是以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为心，$\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周，方向是逆时针．证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上， $\displaystyle P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0$.

15．利用聚点定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ．

10、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 $$ 证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

5、设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ． 证明：至少存在一个 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{1}{a-\xi}+\frac{1}{b-\xi}$ ．

9、设 $\displaystyle I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (2 x y) \mathrm{d} x$ ，证明： （1）$\displaystyle I^{\prime}(y)+2 y I(y)=0$ （2）求 $\displaystyle I(y)$ ．

三．（ 15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=(\xi-1)^{2} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-\lambda x]=0$ ，其中 $\displaystyle \lambda$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

十．（15分）用有限覆盖定理证明致密性定理，即任意有界数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 必定有收敛子列．

1．解答如下问题： （1）利用定义证明：$\displaystyle (\cos x)^{\prime}=-\sin x$ ． （2）利用定积分定义证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}$ ．

7．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ，并求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{2}(x y)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

9．解答如下问题： （1）叙述有限覆盖定理以及一致连续的定义． （2）利用有限覆盖定理证明连续函数在闭区间内一致连续．

2．求 $\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+v^{2}\right)} d x d y=$ $\_\_\_\_$ ，$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$

3． $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x+\int_{-1}^{1} \frac{1+x \sin ^{2} x+\cos x}{1+\cos x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

2、函数列 $\left\{x_{n}\right\}>x_{n}=\sin x_{n-1}, n=1,2, \ldots, 0<x_{0}<\frac{\pi}{2}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{n}{3}} x_{n}$ ．

6、求 $f=\oint_{L^{+}} \frac{x d y-y d x}{4 x^{2}+y^{2}}, L$ 是以 $(1,0)$ 为圆心，$R$ 为半径 $(R \neq 1), L^{+}$是逆时针方向．

2、函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$f(0) \cdot f(1) \geqslant 0$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| d x<2 \int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{0}^{1} \mid f^{\prime \prime}(x) $$

2． $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n}$ ．

3． $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．

3．（10 分）求函数 $f(x)=\frac{4}{x^{2}-2 x-3}$ 在 $x=1$ 处的幂级数展开式．

2．计算 $\iint_{D} \sqrt{1-\sin ^{2}(x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right\}$ ．

五、证明题（10 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=f(\xi)$ ．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

1、（15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 在 $\displaystyle (1,2)$ 上一致连续．

3、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 内有 $\displaystyle n,\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$阶连续导数，且 $$ f^{(k)}\left(x_{0}\right)=0,(k=2,3,, \cdots, n-1), f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0, $$ 当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，$\displaystyle f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=h f^{\prime}\left(x_{0}+\theta h\right),(0<\theta<1)$ ，证明： $$ \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}} $$

5、（20 分）设 $\displaystyle \varphi$ 是可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数，证明：由方程 $$ a x+b y+c z=\varphi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) $$ 确定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程：$\displaystyle (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y$ ．

8、（20 分）记单位球 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ ，设 $u$ 在 $B$ 上具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ．证明：$\displaystyle u(0)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\partial B} u(x, y, z) \mathrm{d} S$ ．

10、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内连续且可导，且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

11、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

4、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(a)+f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) . $$

8、设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足： $$ x_{n}=\sin \left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots \text { 且 } 0<x_{0}<\frac{\pi}{2} . $$ 证明： （1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫且极限为 0 ． （2）试着求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．

七、（10 分）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \text { 为 }[0,1] \text { 中的所有有理数 } \\ 0, x \text { 为 }[0,1] \text { 中的所有无理数 }\end{array}\right.$ 不可积．

三、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty),(a>0)$ 上满足 Lipschitz 条件：即对任意的 $\displaystyle x, y \in[a,+\infty),(a>0)$ ，均成立不等式： －$\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|$ ，其中 $k$ 为正的常数． 证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty),(a>0)$ 上一致连续．

九、（15 分）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}, x \in(0,+\infty)$ ． （1）证明：该级数在 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 上收玫但不一致收玫． （2）求该级数的和函数．

二、（10 分）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a,|q|<1$ ，用 $\displaystyle \varepsilon-N$ 方法证明： $$ \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a_{n}+a_{n-1} q+a_{n-2} q^{2}+\cdots+a_{1} q^{n-1}\right)=\frac{a}{1-q} $$

五、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，求证：存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，对任给的 $\displaystyle \delta>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (c-\delta, c+\delta) \cap[a, b]$ 上无界．

八、（15 分）设周期 $\displaystyle 2 \pi$ 的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上由 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \pi-x, 0<x \leq \pi \\ 0, x=0 \\ -\pi-x,-\pi<x<0 \end{array}\right. $$ 给出． （1）求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数． （2）证明（1）中的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，但不一致收敛．

六、（10 分）证明无穷积分的阿贝尔判别法，即若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫．

四、（10分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上成立： $$ |f(x)| \leq 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 2 . $$ 证明：$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq \mathbf{3}$ ．

2．（13 分）（1）写出数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不收敛到 $a$ 的定义． （2）证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不收敛到 $a$ 的充分必要条件是存在 $\displaystyle \varepsilon_{0}>0$ 和子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n_{k}}-a\right| \geq \varepsilon_{0}$.

3．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明： $$ \left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \frac{M(b-a)^{2}}{4} $$

4．（13 分）试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使得 $\displaystyle \cot x=\frac{1+a x^{2}}{x+b x^{3}}+O\left(x^{5}\right),(x \rightarrow 0)$ ．

7．（12 分）（1）对任意的 $\displaystyle x \in D, \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ ，并且 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leq a_{n}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ． （2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n x^{3}}$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 。

七．设 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=3 a_{n}-a_{n-1}(n=2,3, \cdots)$ ，记 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{a_{n}}$ ，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 的玫散性．

三．设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|\begin{array}{ccc} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ f^{\prime}(\xi) & g^{\prime}(\xi) & h^{\prime}(\xi) \end{array}\right|=0 $$ 并由此推出柯西中值定理．

二．对任意的正数 $a$ ，证明 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上非一致连续．

五．证明 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在任意有限区间可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．

11．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的函数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x), f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上恒为负值．证明：当 $n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也恒为负值，且函数列 $\displaystyle \left\{\frac{1}{f_{n}(x)}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．

12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle A \leq f(x) \leq B, g(u)$ 在 $\displaystyle [A, B]$ 上连续，证明：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．

2．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x}, a>0$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 上不一致连续．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，证明：对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-b) . $$

4．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\left(\ln ^{2} x\right) \sin x}{x+1} \mathrm{~d} x$ 是绝对收敛，条件收敛还是发散，并证明．

5．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 Cauchy－Schwarz 不等式： $$ \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x $$ （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有连续的导函数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明： $$ \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x $$

6．设 $\displaystyle a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right), n=1,2, \cdots$ ． （1）证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限． （2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性并证明．

三．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在且有限，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续。 （2）证明：$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上一致连续，但在 $\displaystyle 0<|x|<1$ 上不一致连续．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有定义，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 的充要条件是对任意包含在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的单调递增数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ，就有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ．

五．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0, f(x) \leq 0$ ．证明： $$ f(x) \geq \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b] $$

六．设 $$ f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cos \left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots $$ 求 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 的极限函数，并证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收玫．

十．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 附近存在一阶连续的偏导数，且 $\displaystyle f_{y}(0,1) \neq 0, f(0,1)=0$ ．证明：$\displaystyle f\left(x, \int_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u\right)=0$在点 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 附近唯一确定单值函数 $\displaystyle t=\varphi(x)$ ，并求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(0)$ ．

四．设 $\displaystyle 0<a<b, f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导． （1）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=\xi f^{\prime}(\xi) \ln \frac{b}{a}$ ． （2）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{x}-1)=\ln x$ ．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，$\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．

3．压缩数列 $\displaystyle \left|x_{n}-x_{n-1}\right| \leq r\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|, r \in(0,1)$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 一定收玫．

4．解答如下问题： （1）未知． （2）$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}, a_{1}=1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．

5．证明导数有界则一致连续，反之，一致连续导数是否有界？证明或给出反例．

6．解答如下问题： （1）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{\alpha}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性． （2）证明：$\displaystyle f(x)=x e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

7．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （1）$\displaystyle [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \geq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \geq(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ． （2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1-f(x)} \leq \frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1}[1-f(x)] \mathrm{d} x}$ ．

8．证明 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left|x-\frac{1}{n}\right|}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}(k=1,2, \cdots)$ 点不可微，求导函数．

1．（15 分）证明： $\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} f\left(x^{2}\right)=A$ 等价于 $\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=A$ ．

2．（15 分）讨论函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x y}{x} & x \neq 0 \\ y & x=0\end{array}\right.$ 的连续性，并确定它的连续点集．

四、（20分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，试证至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a) \text { 成立, 其中 } a<\xi<b \text {. } $$

五、（20 分）证明：如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在有界开区域 D 内一致连续，那么它在 D 内有界．

六、（15 分）证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle F(z)$ 存在连续导数，则函数 $$ u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x-a t)+f(x+a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x \rightarrow a t}^{x+a t} F(z) d z $$ 是弦振动方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ 的解。

二、（20 分）已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{x_{n}+1}, n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 存在极限，并求此极限。

三、（20 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在包含 $\displaystyle [a, b]$ 的开区间内二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|f^{\prime \prime}(c)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)| $$

1）$s(x) \in C^{2}[0,1]$ ，

二、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x)$ 且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ 。

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k, 0<a<b$ ，证明： $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a} $$

四、（15分）设 $\displaystyle p_{1}(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{2}(x)$ 为 $\displaystyle [b, c]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{1}(x)$ 和 $\displaystyle p_{2}(x)$ 在点 $\displaystyle x=b$ 处连续，且一阶到 $r$ 阶导数均连续．证明必存在 $\displaystyle k-r-1$ 次多项式 $\displaystyle q(x)$ ，使得成立 $\displaystyle p_{2}(x)=p_{1}(x)+(x-b)^{r+1} q(x)$ 。

2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $[a, b]$ 上的连续函数 $s(x)$ ． 证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $s(x)$ ．

九、（10 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件： 1）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x)(x \in[a, b])$ ， 2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle s(x)$ ． 证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ．

五、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 有界。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 致连续．六、计算下列积分（每小题 10 分，共 3 小题，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[e^{x}\right] d x$（注 1 。 $\displaystyle ]$ 表取整函数）； （3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．

四、（20 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

三、（ 15 分）试证曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 在任一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x_{0}>0, y_{0}>0, z_{0}>0\right)$ 的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数．

九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ． 证明：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，求证． $\displaystyle \int_{0}^{2 a} f(x) d x=\int_{0}^{a}[f(x)+f(2 a-x)] d x$ ．并利用此式计算 $\displaystyle \int_{0}^{2 a} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ．

八、（15 分））设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的函数．定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x<1, \\ 0, & 1 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$的 Fourier 展开式，并利用此结果证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．

四、（15 分）证明不等式 $\displaystyle 2 e^{-\frac{1}{4}} \leq \int_{0}^{2} e^{x^{2}-x} d x \leq 2 e^{2}$ ．

七、（15 分）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{3}}$ 的值，并证明它也等于数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ 的和．

九、（15 分）叙述函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 不一致收敛到函数 $\displaystyle f(x)$ 的分析定义，并用定义证明 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛． 以上资料由网友收集整理上传，仅供个人免费学习参考，如有侵权，请联系微信18062109856（同手机号）删除。

五、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $$ (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y $$ 其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数， $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 为常数．

四、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $[a, b]$ 上的连续函数 $s(x)$ ． 证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $s(x)$ ．

九、（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件： 1）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \quad(x \in[a, b])$ ， 2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle s(x)$ ． 证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ．

五、（ 15 分）用＂$\displaystyle \varepsilon-\delta$＂语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-2)(x-1)}{x-3}=0$ ．

八、（15 分）已知 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，求证级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}+1}$ 也发散。

四、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

七、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $$ (\mathrm{cy}-\mathrm{bz}) \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{x}}+(\mathrm{az}-\mathrm{cx}) \frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}=b x-a y $$ 其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数， $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为常数。

三、（15 分）用＂$\displaystyle \varepsilon-\delta$＂语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-2)(x-1)}{x-3}=0$ ．

八、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程 $$ (c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y $$ 其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数．

2． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ 。

1．（10 分） $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ 。

2．（15 分） $\int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，其中 $f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ 。

二、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但在此点不可微。

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(f(x)-g(x))=0$ ，证明 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。

2．计算曲面积分 $I=\iint_{S} \frac{d S}{z}, \mathrm{~S}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $z=h(0<h<a)$ 所截的顶部．

3．计算 $\int_{L} x d y+y d x$ ，其中 $L:$ 沿抛物线 $y=2 x^{2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ ．

2．求二重积分 $\iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid \pi^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \pi^{2}\right\}$ 。

3．已知 $f(x, y)=\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}$ 。计算其在原点的两个累次极限。

4．计算直线 $4 x+3 y=16$ 与椭圆 $18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．

2．求极限 $a_{n}=\sqrt[n]{2+x^{n}}, x>0$ ．

3．计算积分 $I=\iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} d x d y$ ，其中 $D$ 为平面曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x$ 所围成的有界闭区域。

2．设 $0<\alpha<1$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right]$ ．

3．计算第二型曲线积分 $I=\int_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是抛物线的一段：$y=x^{2},-1 \leq x \leq 1$ ，方向由点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ ．

4．计算 $I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1} \sin x^{2} \cos y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

6．求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n-3^{2 n}}$ 的收玫域．

2．设 $a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}, n=1,2$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ ．

4．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(x) \leq 0, f^{\prime}(x) \geq 0$ ．若 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明： $$ 2 \int_{0}^{1} F(t) \mathrm{d} t \leq F(x) \leq x F(1), x \in(0,1) . $$

1．证明函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 的偏导数存在，但在此点不 可微。

一、计算题（每小题 10 分，共 6 小题，共 60 分）

三、综合题（每小题 20 分，共 2 小题，共 40 分）

二、证明题（每小题 10 分，共 5 小题，共 50 分）

3．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)$ ．

4．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^{2}}, x \geq 0$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $$ f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}} $$

5．设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是正的严格递增数列，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ ，求证：$\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}$ ．这里假设右侧的上极限存在．

7．设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均不为零，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是否收敛，为什么？

10．设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可微，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1(x \geq 1)$ ，求证：$\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．

1．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^{2}+\beta^{2}<1$ ，计算二重积分 $$ \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{(1-\alpha x+\beta y)^{2}+(\beta x+\alpha y)^{2}} $$

2．利用变换 $u=x+e^{y}, v=x-e^{y}$ 求解微分方程 $e^{2 y} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial z}{\partial y}=0$ ．

3．计算 $f(x, y)=5 x^{2}+5 y^{2}-8 x y$ 在条件 $x^{2}+y^{2}-x y=75$ 下的最小值．

1．设 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 连续， $\lim _{|\mathbf{x}| \rightarrow+\infty} f(\mathbf{x})=0$ ，其中 $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),|\mathbf{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ，求证： $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{[0,1]^{n}} f(k \mathbf{x}) \mathrm{d} x_{1} \cdots \mathrm{~d} x_{n}=0$ ．

5．求证：方程 $x=\int_{0}^{y} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t^{4}}}$ 在 $x=0$ 的邻域内确定了连续可微函数 $y=y(x)$ ，满足 $$ y^{\prime}(x)=\sqrt{1-y^{4}(x)} $$

1．用数学语言描述 $\left\{a_{n}\right\}$ 不是基本列．

3．设 $0<a<b$ ，证明不等式 $\frac{2 a}{a^{2}+b^{2}}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$ ．

4．已知 $a_{n}=\sqrt[n]{2022^{n}+(-2023)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 和 $\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

6．证明： $\sin \left(x^{2}\right)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续．

7．$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微，$h(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}, & x \neq y ; \\ f^{\prime}(x), & x=y .\end{array}\right.$ 证明：$h(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上连续．

8．$a, b$ 为正常数，求由 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 x+18 y$ 所围成的面积．

10．证明：含参量 $u$ 的反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u x^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $u \in(0,+\infty)$ 上不一致收敛．

2．设 $C$ 是 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x=y$ 的交线，方向由 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 到 $\left(-\frac{a}{\sqrt{2}},-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ ．计算 $$ \left(z^{3}+3 x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+3 y^{2} z\right) \mathrm{d} y+\left(y^{3}+3 z^{2} x\right) \mathrm{d} z $$

3．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-z=2 ; \\ z^{2}=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 上距离原点最近的点．

1．证明： $\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{6} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 收敛．

2．$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上存在三阶连续导数，$f(0)=f(1)=f(2)=0$ ．证明：对任意的 $x \in(0,2)$ ，存在 $c \in(0,2)$ ，使得 $$ f(x)=\frac{1}{6} x(x-1)(x-2) f^{\prime \prime \prime}(c) $$

3．$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，求证： $$ \max _{x \in[a, b]} f(x) \leq \frac{1}{b-a}\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x $$

3．求证：黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 具有如下性质： （1）在 $x>1$ 上连续． （2）在 $x>1$ 上连续可微．

4、证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(\sqrt[n]{n}-1)$ 条件收玫。

7、极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=A$ 的充要条件是对 $\forall \varepsilon \geq 0$ ，存在正整数 $N$ ，当 $n>N$时，有 $\left|a_{n}-A\right| \leq \varepsilon$ 是否正确？

8、 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=2025 f(\xi)$ ．

10、证明：函数 $f(x)=x \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续．

1、 $\Gamma: y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ ，从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ ，求第二型曲线积分 $$ I=\int_{\Gamma}\left(e^{x} \sin y-4 y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y+4 x\right) \mathrm{d} y $$

2、求三重积分 $I=\iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \left(z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $$ V=\left\{(x, y, z): \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 3\right\} $$

1、设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续且有界，证明：$f_{n}(x)=\frac{n \int_{0}^{1} f(x+t) e^{-n t} \mathrm{~d} t}{1-e^{-n}}$一致收敛于 $f(x)$ ．

2、数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$ ，记 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, x \in(-1,1)$收敛，证明： $\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x) f(x)=0$ ．

4、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续非负，且对任意的 $x, y \geq 0$ ，有 $$ f(x+y) \leq f(x)+f(y) $$ 证明：极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在且有限．

5、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，记 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t,(x \geq 0)$ ，证明： $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，并求 $F_{+}^{\prime}(0)$ ．

三、证明题．（每题 12 分，共 60 分）

二、计算题．（每题 10 分，共 30 分）

3．设 $f(x)$ 可微，且有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x f(x)+f^{\prime}(x)}{x}=L \in \mathbb{R}$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L$ ．

7．计算 $f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t}}$ 的幂级数展开式．

8．计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} \max \{1, y\} \sin ^{2}(x y) \mathrm{d} y$ ．

10．$\left\{a_{n}\right\}$ 收玫当且仅当对任给的正整数 $p$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0$ ，此命题是否正确？为什么？

1．计算曲线积分 $$ \int_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z $$ 其中曲线 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 与三坐标轴的交线，它的定向使得球面的上侧在曲线左侧．

2．设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 由 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 和 $y \geq 1$ 围出，计算二重积分 $\iint_{D} \frac{2 y-y^{2}-x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

3．设 $a>0, b>0$ ，计算积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(a^{2}+x^{2}\right)}{b^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

1．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)<0<f(b)$ ．证明：存在 $c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)=0$ ，且 $f(x)>0$ ， $x \in(c, b]$ 时。

5．设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上非负递减，且 $\int_{1}^{+\infty} x^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{a+1} f(x)=0$ ．

1．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left[n a_{n}\right]}{n}=a$ ，其中［ ⋅ ］表示取整．

12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无界，证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ，使得对任意的 $\displaystyle \delta>0$ ，满足 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \cap[a, b]$上无界。

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle f(a+0), f(b-0)$ 存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ ．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界，判断 $\displaystyle f,|f|, f^{2}$ 之间的可积性关系．

7．证明 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，并求 $\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ，判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续，当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，$\displaystyle f(x) \rightarrow+\infty$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．

9．设 $\displaystyle u=f(x, y)$ ，其中 $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ ，证明： $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} $$

1．（10 分）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin n$ 不存在．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上周期为 $T$ 的连续函数．证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x$ ．

3．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续可微，且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 $$

4．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．

5．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上可导，已知函数 $\displaystyle e^{-x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界，证明：函数 $\displaystyle e^{-x} f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上也有界．

7．（10分）证明：有限闭区间上的单调函数必定可积．

9．（15分）$K$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中的紧集，$\displaystyle f: K \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 为连续映射，证明：$f$ 在 $K$ 上一致连续．

1、若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 无界，但不是无穷大，证明：存在两子列一个为无穷大，一个有界。

11、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明：存在 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \rightarrow+\infty$ 使得 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0 . $$

3、若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)>0, f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)<0$ ，证明：$\displaystyle x_{0}$ 为极小值点．

4、已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \text { 为有理数 } \\ 0, x \text { 为无理数，证明：仅在 } x=0 \text { 时可导．}\end{array}\right.$

6、证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．

8、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 连续，$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛．证明： $$ F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right) $$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 一致收敛．

9、设 $\displaystyle f=\varphi(|x y|), \varphi(0)=0$ ，原点附近 $\displaystyle |\varphi(u)| \leq u^{2}$ ，证明：$f$ 在原点可微．

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times(2 n)}$ ．

3．计算 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{2026}\right)} \mathrm{d} x$ ．

4．计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

10．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上三阶可导，证明：若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), ~ \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)$ 都存在且有限，则 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0 $$

11．设 $$ f(x, y)= \begin{cases}x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 证明：$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，但偏导函数不连续．

12．设 $a_{n} \geq 0$ ，且幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $R$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow R^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} R^{n}$ ．

3．设 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．

七．（10 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，对任意的 $\displaystyle 0 \leq a<b \leq 1, f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的最大值点，证明：$\displaystyle f(x)$为常值函数．

三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上反常可积，即 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，定义函数 $\displaystyle \varphi(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (x t) \mathrm{d} t$ ，证明： $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

五．（15 分）证明： （1）对任意的 $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle |\cos x|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}-1} \cos (2 n x)$ ． （2） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x)|\cos \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积．

八．（10 分）设 $\displaystyle f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ 满足 $$ |f(x)-f(y)|<|x-y|, \forall x, y \in[0,1], x \neq y $$ 证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^{2}}$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ ，满足 $$ f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}} $$

四．（20分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一有光滑边界的有界区域，设 $\displaystyle u \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}(\bar{\Omega})$ ，且 $\displaystyle \Delta u=0$ ． （1）证明： $\displaystyle \iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\iiint_{\Omega}\|\nabla u\|^{2} \mathrm{~d} V$ ． （2）若 $\displaystyle \left.u\right|_{\partial \Omega} \equiv 1$ ，证明：$\displaystyle u \equiv 1$ ．

1．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上的连续函数，且 $f$ 在原点沿任意方向的方向导数存在．问：$f$ 在原点是否一定可微？若可微，给出证明，若不可微，给出反例．

10．（15 分）证明：自然数 $e$ 是无理数．

2．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上非一致连续，在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．

3．（15 分）已知函数 $$ f(x)= \begin{cases}A, & 0 \leq x \leq \pi \\ -A, & -\pi \leq x<0\end{cases} $$ 其中 $\displaystyle A \neq 0$ 为常数，求该函数在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶级数，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．

4．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 的任何有限闭区间上可积，令 $\displaystyle L(s)=\int_{0}^{+\infty} e^{-s x} f(x) \mathrm{d} x$ ，已知 $\displaystyle L\left(s_{0}\right)$ 收敛，证明：$\displaystyle L(s)$ 在 $\displaystyle s \geq s_{0}>0$ 时收敛．

5．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) e^{n x} \mathrm{~d} x=0$ 对所有 $\displaystyle n=0,1,2, \cdots$ 成立，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

6．（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}=\left(F^{1}, F^{2}, \cdots, F^{n}\right): \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 在原点可微，且 $\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ ．已知 $\displaystyle \sum_{i, j=1}^{n}\left(\frac{\partial F^{i}(\mathbf{0})}{\partial x_{j}}\right)^{2}<1$ ，证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，当 $\displaystyle |\mathbf{x}| \leq \delta$ 时，有 $\displaystyle |\mathbf{F}(\mathbf{x})| \leq \delta$ ．

7．（15 分）设函数 $\displaystyle f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，考虑方程 $\displaystyle f(x)=\operatorname{tg}(x)$ （1）证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle x(t)$ 是方程在 $\displaystyle t \in(-\delta, \delta)$ 上满足 $\displaystyle x(0)=0$ 的唯一解． （2）求 $\displaystyle x(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处的一阶泰勒展开式．

8．（20 分）设 $B$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单位开球，函数 $\displaystyle u \in C^{2}(B) \cap C(\bar{B})$ 满足（i）$u$ 是 $B$ 上的非零函数，（ii）$\displaystyle u \mid \partial B=0$ ， （iii）存在 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{R}$ ，使得在 $B$ 上有 $\displaystyle \Delta u=\lambda u$ ． （1）证明： $\displaystyle \int_{B}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \int_{B} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda<0$ ．

9．（20 分）设 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 是严格单调递增趋于 $\displaystyle +\infty$ 的数列，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A(A \in \mathbb{R})$ ． （1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=A$ ． （2）计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}}{n^{k+1}}$ ，其中 $k$ 为正整数．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

3．计算二重积分 $I=\iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 与两坐标轴所围成的区域。

10．设函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有二阶连续偏导数且 $\displaystyle \Delta f \equiv 0$ 证明 $\displaystyle \iiint_{B}\left(x f_{x}+y f_{y}+z f_{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．

11．设连续函数 $\displaystyle f:(a, b) \rightarrow(a, b)$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 成立 $\displaystyle |f(x)-c|<|x-c|, x \in(a, b) \backslash\{c\}$证明：对于任意的 $\displaystyle x_{1} \in(a, b)$ ，由递推关系 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ 确定的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

7．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：可以作适当的线性变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=x+a y \\ v=x+b y\end{array}\right.$ 可以将方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+4 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+3 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0$ 化为 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}=0$.

9．证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}, x>0$ ．

七．假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上四次连续可微，设 $$ g(x)=\frac{f(0)}{2}(x-1)(x-2)-f(1) x(x-2)+\frac{f(2)}{2} x(x-1) . $$ （1）证明：任给 $\displaystyle x \in[0,2]$ ，都存在 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ ，使得 $$ f(x)-g(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime}(\xi)}{6} x(x-1)(x-2) . $$ （2）证明：存在 $\displaystyle \eta \in(0,2)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{2}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=-\frac{1}{90} f^{\prime \prime \prime \prime}(\eta)$ ． （3）定义 $$ \varepsilon_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{3 n} \sum_{i=1}^{n}\left[f\left(\frac{2(i-1)}{n}\right)+4 f\left(\frac{2 i-1}{n}\right)+f\left(\frac{2 i}{n}\right)\right] . $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{4} \varepsilon_{n}=-\frac{1}{180}\left[f^{\prime \prime \prime}(2)-f^{\prime \prime \prime}(0)\right]$ ．

三．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin n x \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上逐点收敛但不一致收敛．

六．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上有定义，且存在常数 $L$ ，使得对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$ ，都有 $$ \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq L\left|x_{1}-x_{2}\right| $$ 试证存在 $\displaystyle X \in[1,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(x)}{x+\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ 在 $\displaystyle [X,+\infty)$ 上一致连续．

3．求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2^{n}}$ 的和．（压中原题 ）

6． $\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y, D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ．（类似题目讲过小题样，只是范围不一样）

2．讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{n x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 的一致收敛性以及 $[a,+\infty)$ 的一致收敛性

3．$F(x, y)$ 在 $(0,+\infty)$ 二除有导，$F\left(0,(y)={ }^{\circ} 0 F_{y}(0,1) \neq 0\right.$ ，有 $F\left(x, \int_{0}^{t} \sin x d x\right)=0$ ， 证明在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 处存有连续函数 $t=\varphi(x)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0)$ ．

4．已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续可微，且 $f(a)=0$ ，则 $\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| d x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x$ ． （压住原题，做过 $a=0, b=a$ 的题）

七．（20 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致连续．

九．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{cases}$ （1）求 $\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ； （2）证明：$\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不连续； （3）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

二．（10 分）设 $\displaystyle x_{1}=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，并求此极限．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>1)$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left[f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right] \mathrm{d} x$ ．

四．（15 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，试证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)| $$

1．（15 分）判断对错并说明理由（正确的给出证明，错误的给出反例）． （1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界． （2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界． （3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且有界，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在．

10．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上只有可去间断点，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．

7．（15 分）设 $f$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且对任意的 $\displaystyle x, y \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq 2(x-y)^{2}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上为常值函数．

9．（15 分）设三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle D=\{(x, y, z) \mid x+y+z \leq 1\}$ 上可微，且 $\displaystyle \forall(x, y, z) \in D$ ，有 $$ \left|f_{x}(x, y, z)\right| \leq 1,\left|f_{y}(x, y, z)\right| \leq 2,\left|f_{z}(x, y, z)\right| \leq 3 $$ 证明：$\displaystyle \forall\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in D$ ，有 $$ \left|f\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)-f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\right| \leq\left|x_{2}-x_{1}\right|+2\left|y_{2}-y_{1}\right|+3\left|z_{2}-z_{1}\right| $$

2．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}[\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x]$ ．

3．设 $f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，求积分 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．

4．计算 $\iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(a+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(a>0), S$ 取半球面 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．

5．计算 $I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $L$ 是椭圆 $2 x^{2}+3 y^{2}=1$ ，方向沿逆时针方向．

6．求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ 的和．

2．设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 e^{t}+t+1 \\ y=4(t-1) e^{t}+t^{2}\end{array}\right.$ 确定，计算 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

3．设 $f(x)$ 的一个原函数为 $F(x)>0$ ，且 $F(0)=1$ ，当 $x \geq 0$ 时，有 $f(x) F(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $f(x)$ ．

4．计算曲线积分 $$ \int_{L}\left[2\left(x^{2}-x\right) e^{2 x}-x y\right] \mathrm{d} x+\left[x^{2}-(y+2) e^{y}\right] \mathrm{d} y $$ 式中 $L$ 是从 $(0,0)$ 经曲线 $y=x^{2}-2 x$ 到点 $A(4,8)$ 的一段弧．

5．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}(R>0)$ 的上侧．

6．解答如下问题： （1）讨论函数 $f(x)=(x-1)(x-2) D(x)$ 的连续点和间断点，并判断间断点的类型，其中 $D(x)$ 是狄利克雷函数 $$ D(x)= \begin{cases}1, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases} $$ （2）给出实数集 $\mathbb{R}$ 上只有 3 个连续点的函数．

7．利用交换积分次序计算 $\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_{2}^{4} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y$ ．

14．证明：若在区间 $I$ 上函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 一致收敛，且对每个正整数 $n, f_{n}(x)$ 都在区间 $I$ 上有界，则函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致有界。

2、已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right), n=1,2, \cdots$ ． （1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在并求其值． （2）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收敛。

3、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上存在，而且 $$ f(1)=\frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} x e^{1-x} f(x) \mathrm{d} x \text {, 其中 } \alpha \in(0,1) \text {. } $$ 求证：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) f(\xi)$ ．

4、已知 $\displaystyle a>0$ ，证明：曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}$ 上任一点的切平面在各坐标面上的截距之和均为 $a$ ．

5、已知 $n$ 为正整数，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n+1}$ ． （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续． （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数． （3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln 2$ ．

9、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，令 $\displaystyle F(t)=\int_{0}^{1} \frac{t}{x^{2}+t^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle F(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处连续充分必要条件是 $\displaystyle f(0)=0$ ．

一．（15 分）解答如下问题： （1）用极限的定义证明：当 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 时，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=0$ ． （2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=0$ ，是否有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ？为什么？ （3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}$ ．

七．（15 分）叙述并证明康托尔（Cantor）定理．

三．（15 分）解答如下问题： （1）证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=a$ ． （2）已知 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内有定义，且在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续．证明： $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 的充分必要条件是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

七、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）已知函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足 $\displaystyle x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=z^{2}$ ，作变量替换 $\displaystyle u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}, w=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$ ，证明：$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}=0$ ．

二、（20 分）已知抛物线 $\displaystyle y=-x^{2}+B x+C$ 与 $x$ 轴在 $\displaystyle a, b (a<b)$ 点相交，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b) =0, f(x)$ 与 $\displaystyle y=-x^{2}+B x+C$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有一个交点，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-2$ 。

五、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$求 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), ~ f_{y}^{\prime}(x, y)$ ，并证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微。

二、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq a<b$ ． 证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．

二、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ， $\displaystyle F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．

3．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，试证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 f^{\prime}(\xi)}{1-\xi}$ ．

4．（15 分）已知 $\displaystyle x+y-z=e^{z}, x e^{x}=\tan t, y=\cos t$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0},\left.\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0},\left.\frac{\mathrm{~d}^{2} z}{\mathrm{~d} t^{2}}\right|_{t=0}$ ．

6．（20 分）证明 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{y}$ 不存在，其中 $\displaystyle x>0, y>0$ ．

2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ． （1）证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)=1$ ． （2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle \xi f^{\prime \prime}(\xi)+(1+\xi) f^{\prime}(\xi)=1+\xi$ ．

2、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点。

3、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续 $\displaystyle (a b>0)$ ，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明： $$ \frac{1}{b-a}\left|\begin{array}{cc} a & b \\ f(a) & f(b) \end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi), ~ \text { 其中 } \exists \xi \in(a, b) . $$

2．求 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ 在条件 $\displaystyle x+y=a(x, y \geq 0)$ 下的最小值，并在此基础上证明不等式： $$ \frac{x^{4}+y^{4}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{4} $$

3．已知 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$, 二元函数 $\displaystyle g(x, y)=f\left(x^{2}+y^{2}, x y\right)$ ，证明：$\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=x^{2}-y^{2}$ ．

6．已知 $\displaystyle u_{1}>0, u_{n} e^{u_{n+1}}=e^{u_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 存在，并求其值．

7．已知 $\displaystyle f(x)$ 二阶连续可微，证明： $$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{2}(b-a)[f(a)+f(b)]=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{\prime \prime}(x)(x-a)(x-b) \mathrm{d} x $$

8．设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f(0)>0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq 0, x \in[0,+\infty)$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$收玫，则反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．

三、证明题． $\displaystyle \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+x^{2}} \arctan (n x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上是否一致收敛？

七．（15 分）证明：若级数花 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, n \in N_{\text {，}}$ 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\prime} c_{n}$ 也收敛。 八（15 分）荐姠数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \|_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ，且对们总 $\displaystyle n \in N_{*}, u_{n}(x)$ 位区间 $I$ ：连续，证明和函数 $\displaystyle f(x)$ 在区问 $I$ 上连续。

三．（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}+1$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续。

二．（15 分）当 $\displaystyle x>0$ 时，有 $\displaystyle \ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ 。 。

六．（15分）利用有限覆盖定理证明下述结论：如果 $D$ 是平面 $\displaystyle R^{2}$ 上的有界闭区域且函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $D$ 连续，则函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $D$ 有界。

十．（15 分）设空间区域 $\displaystyle \Omega$ 由曲面 $\displaystyle z=a^{2}-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 围成，其 $\displaystyle 11 \Omega$ 的表血再外侧为 $\displaystyle S, \Omega$ 的体积为 $V$ ，证明：$\displaystyle \oiint_{S} x^{2} y z^{2} d y d z-x y^{2} z^{2} d z d x+z(1+x y z) d x d y=V^{\prime}$ 。

四．（15 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ， $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=1$ 。 五。（15 分）已知 $\displaystyle p>0$ ，当 $p$ 与 $q$ 满足什么关系时，方程 $\displaystyle x^{3}=3 p x+q$ 恰有三个实根。

1．求证：$I(n)=\frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ ；

2．求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} I(n)$ 的和。 + ．（ 15 分，其中第一题 10 分，第二题 5 分）

1．证明函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的和函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续。

四．（15 分）半径为 $a$ 的球内有一球内接直圆柱，问直圆柱的底半径与高为多大时使直圆柱的体积最大？ 五（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $\displaystyle \phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可导且 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)=f(x)$ 。

二．（15 分）求数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ 。 三（15分）证明奇数次多项式 $$ P(x)=a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n+1} $$ 至少存在一个实根，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2 n+1}$ 都是常数，且 $\displaystyle a_{0} \neq 0$ 。

一．（15 分）用函数极限的定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c}(c \neq 0)$ 。 $\displaystyle \therefore\left(15\right.$ 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ 。 三（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a .+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle A, B \in R$ ，使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。

九．（15 分）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} d x=f(0) \ln \frac{b}{a}, 0<a<b$ 。

六．（15分）证明函数列 $\displaystyle \left\{n x(1-x)^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛。 L．（15 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和陑数。

四．（15 分）证明方程 $\displaystyle \frac{5}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{16}{x-3}=0$ 在 $\displaystyle (1,2)$ 与 $\displaystyle (2,3)$ 内各有一个实根。

一．（15 分）证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=a$ 。

三．（15 分）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow i} f(x)=b$ ，证明对佢意数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, a_{n} \neq a$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=b$ 。

八．（15 分）已知三次方程 $\displaystyle x^{3}-3 a^{2} x-6 a^{2}+3 a=0$ 只有一个正的实根，求 $a$ 的范围。九．（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots), x_{n} \in[a, b](n=1,2, \cdots)$ 且数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow f_{n}} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。

六．（15 分）已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { 若 }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { 若 }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ， （1）求出 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y)$ 及 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(x, y)$ ； （2）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点连续； （3）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点不可微。

七．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且 $\displaystyle f(x) \geq g(x)$ ，同时 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} g(x) d x$ ，证明对所有的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle f(x)=g(x)$ 。

二．（15 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle \| f(a)<0, f(b)>0$ 。证明： （1）集合 $\displaystyle A=\{x \in[a, b] \mid f(x)<0\}$ 有 $\displaystyle \mid$ ：确界。 （2）如果 $\displaystyle \sup A=l$ ，则 $\displaystyle f(l)=0$

八．（15 分）设对每个正整数 $n$ ，函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，又对 $\displaystyle [a, b]$ 上每个 $x$ ，序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是有界列，证明在 $\displaystyle [a, b]$ 中存在一个小区间使得函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$在该小区间上一致有界。

四．（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 满足如下条件： （1）在圳区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续， （2）在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 可导。 则在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。

一．（15 分）已知 $\displaystyle a, q$ 为常数， $\displaystyle 0<q<1$ ，且 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=q \sin x_{n}+a$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．

三．（15 分）证明：奇次多项式 $\displaystyle P(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 至少有一个实根，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$为常数且 $\displaystyle a_{0} \neq 0$ ．

二．（ 15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x^{2}-25}=\frac{1}{10}$ ．

六．（15 分）用确界定理证明连续函数根的存在性定理．

四．（15 分）给出一个含 $\displaystyle a, b, c$ 的函数以及它的极大小值点与极大小值，求 $\displaystyle a, b, c$ ．

一．设常数 $\displaystyle a>1$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 存在子列 $\displaystyle \left\{x_{n_{k}}\right\}$ 满足：对任意的正整数 $k$ ，有 $$ \left|x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}\right|<a^{-k} $$

二．用极限定义证明：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{b}$ ．

五．求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+12 x-1$ 在区间 $\displaystyle [-2,3]$ 上的最大值与最小值． 六。证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(t) \mathrm{d} t=\int_{c}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．

四．证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且函数值集合也是 $\displaystyle [a, b]$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}$ ．

七．证明：函数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 和 $\displaystyle x=b$ 连续，对任意 $\displaystyle n \in \mathbb{N}_{+}, u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 单调，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．

三．函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b], t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{n}=1, t_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $$ f(\xi)=t_{1} f\left(x_{1}\right)+t_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+t_{n} f\left(x_{n}\right) $$

九．证明： $$ \frac{61}{165} \pi \leq \iint_{D} \sin \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \leq \frac{2}{5} \pi $$ 其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leq 1$ ．

五．证明：函数 $\displaystyle f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}, a_{n} \neq 0, f^{k}(a) \geq 0,(k=0,1, \cdots, n)$ ，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上无零点．

六．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上满足：$\displaystyle x, y \in[0,1]$ ，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq|x-y|$ ，则 $$ \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{n} $$

四．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，则 $$ f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)] $$

一．（15 分）用数列极限定义证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A$（ $A$ 为实数或 $\displaystyle A=+\infty$ ），则 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=A $$

三．（15 分）用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明：有限闭区间上的连续函数必一致连续．

二．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)<f_{-}^{\prime}(b)$ ，证明：对 $\displaystyle \eta \in\left(f_{+}^{\prime}(a), f_{-}^{\prime}(b)\right)$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\eta$ ．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ ．

十．（ 15 分）证明： $$ \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} e^{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} $$

四．（15 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致收玫于和函数 $\displaystyle S(x)$ ，证明： $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

1、证明：如果 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)+g(x)$在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上也是一致连续的；请问：它们的乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 是否仍一致连续？如果是，请写出证明过程；如果不是，请举出反例．

10、证明黎曼引理：设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积或绝对可积，则成立： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0$ ．

2、试问闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数类 $\displaystyle C[a, b]$ ，可导函数类 $\displaystyle D[a, b]$ ，可积函数类 $\displaystyle R[a, b]$ 之间有什么关系？请写出证明过程或举出反例．

3、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的有界函数，证明： $$ \begin{aligned} & \sup _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \geq \sup _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\}+\inf _{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\} \\ & \inf _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \leq \inf _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\}+\sup _{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\} \end{aligned} $$

4、（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 附近可以表示为： $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right) $$ 证明：$\displaystyle a_{k}=\frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}, k=0,1,2, \cdots, n$ ． （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内有任意阶导数，且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}$ ，有 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M$（常数），$\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．试证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内可展开为无穷泰勒级数，即 $$ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k} $$ 其中 $\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．

5、叙述定积分与三重积分的定义及其几何意义或物理意义。它们的定义有什么共同点？并利用定义证明三重积分的线性性质。

6、证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积的充分必要条件是：对 $\displaystyle \forall c \in(a, b)$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, c]$ 和 $\displaystyle [c, b]$ 上都可积，并证明： $$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x $$

7、已知 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，设 $$ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text {, 证明: } F^{\prime}(x)=f(x) \text {. } $$

8、证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ 收玫，并求其值．

一、用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明闭区间上的连续函数可以达到最大值．

七、证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \cos \left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle p>1$ 时绝对收敛， 在 $\displaystyle 0<p \leq 1$ 时条件收敛。

五、已知函数 $\displaystyle f(x, u)$ 在区域 $$ D=\{(x, y): a \leq x<+\infty, \alpha \leq u \leq \beta\} $$ 中连续，且积分 $\displaystyle \varphi(u)=\int_{a}^{+\infty} f(x, u) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上一致收敛， 证明：$\displaystyle \varphi(u)$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上连续．

十、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续导函数，且 $$ d_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n d_{n}=\frac{f(1)-f(0)}{2}$ ．

1、（15 分）设 $\displaystyle p>1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2^{p}}+\cdots+\frac{1}{n^{p}}\right\}$ 收敛，且其极限 $a$ 满足： $\displaystyle 1+\frac{1}{2^{p-1}(p-1)} \leq a \leq \frac{p}{p-1}$ ．

2、（15 分）证明：方程 $\displaystyle \frac{5}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{16}{x-3}=0$ 在 $\displaystyle (1,2)$ 与 $\displaystyle (2,3)$ 至少 各有一个实根．

3、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=2$ ．证明：在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上存在两个 $\displaystyle \xi_{1}$ 与 $\displaystyle \xi_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=1$ ．

4、（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[b x-f(x)]=0 \text {, 其中 } b \text { 是非零常数. } $$ 则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

5、（15 分）证明：存在常数 $\displaystyle A<1$ ，对任意的正整数 $\displaystyle n>1$ ，均有 $$ \sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}<A n^{\frac{3}{2}} $$

1．应用柯西准则证明 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right\}$ 收敛并求极限．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有连续三阶导数，且 $\displaystyle f(-1)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，证明：在 $\displaystyle (-1,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．

3．叙述致密性定理并证明：设 $\displaystyle D_{1}, D_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的两个非空闭集且 $\displaystyle D_{1}$ 有界，则存在 $\displaystyle x_{0} \in D_{1}, y_{0} \in D_{2}$ ，使 $$ \left\|x_{0}-y_{0}\right\|=\inf _{\substack{x \in D_{1} \\ y \in D_{2}}}\|x-y\| $$ 其中 $\displaystyle \|\cdot\|$ 表示 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的欧氏距离．

5．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ 和 $\displaystyle f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)$ ．

6．证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1-x)^{2}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛．

9．设一致连续的非负函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

三、设函数 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})$使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ 。

九、求函数 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在区域 $\displaystyle \mathrm{D}=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\right\}$ 内的平均值。

二、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是区间 1 上有界且一致连续的函数，证明：$\displaystyle f(x) g(x)$ 在 1 上一致连续。

五、证明函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^{2}}$ 满足方程 $\displaystyle x f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-f(x)=0$ 。

八、设在 $\displaystyle [\mathrm{a},+\infty) \times[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$ 内成立不等式 $\displaystyle |\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})| \leq \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} F(x, y) d x$ 在 $\displaystyle \mathrm{y} \in[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$上一致收敛，证明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) d x$ 在 $\displaystyle \mathrm{y} \in[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$ 上一致收敛且绝对收敛。

十、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上有二阶连续偏导数 （1）通过计算验证： $\displaystyle \iint_{D} f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) d x d y=\iint_{D} f_{y x}^{\prime \prime}(x, y) d x d y$ ； （2）利用（1）证明：$\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=f_{y x}^{\prime \prime}(x, y),(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{D}$ 。

四、设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a},+\infty)$ 上单调，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。

三、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，$\displaystyle f(x)=0$ ，且对任意的 $\displaystyle x \in(0,1), f(x) \neq 0$ 证明：对于任意 $\displaystyle \theta \epsilon(0,1)$ ，使得 $\displaystyle \frac{2 f^{\prime}(\theta)}{f(\theta)} \frac{f^{\prime}(1-\theta)}{f(1-\theta)}$ ．

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)- g(x)]=0$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

五、（15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有连续的各阶导函数．

六、（15 分）假设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有二阶可导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。

四、（15 分）假设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0},+\infty\right)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．

1、（15 分）$\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q} & x=\frac{p}{q}, q>0, p, q \text { 是互质整数 } \\ 0 & x=0,1 \text { 及无理数 }\end{array}(0 \leq x \leq 1)\right.$ ，讨论 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．

3、（15 分） （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq C>0$（ $c$ 为常数）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ． （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最小值．

4、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

5、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续二阶导数且 $\displaystyle f(0) f(1) \geq 0$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| d x $$

6、（15 分）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 且对任意 $\displaystyle x \in(0,1)$ ， $\displaystyle f(x) \neq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x>4$ ．

7、（15 分）给定级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ ． （1）求和函数 $\displaystyle S(x)$ ． （2）证明：广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} S(x) d x$ 收敛，并写出它的值．

8、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明： $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}(a, b>0) $$

2、（20分）叙述并证明数列的柯西收敛原理．

3、（20 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，其中 $a$ 为大于等于零的常数且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-2 \sqrt{x}]$ 存在，那么 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否一致连续？如果是，请给出证明，如果不一定，请给出一正一反的例子．

5、（20 分）证明： $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{2 \pi}$ ，并用该结果计算 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}+x} \mathrm{~d} x$ ． 注：求 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}+x} \mathrm{~d} x$ 这题可能有问题，可能是求 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

7、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，定义 $\displaystyle \alpha$ —阶积分算子（ $\displaystyle \alpha>0$ ）： $\displaystyle I^{\alpha} f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{x}(x-s)^{\alpha-1} f(s) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle \Gamma(\alpha)$ 为伽马函数。 利用积分换序原理证明：当 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}>\mathbf{0}$ 时，有 $$ I^{\alpha}\left(I^{\beta} f(x)\right)=I^{\alpha+\beta} f(x)=I^{\beta}\left(I^{\alpha} f(x)\right) . $$

三．（20分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

二．（20分）证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ 存在最大值和最小值．

10．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 绝对收敛且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) d x$ 收敛，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) d x$ 收敛。

11．设级数满足加括号后级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\left(u_{3 k+1}+u_{3 k+2}+u_{3 k+3}\right)$ 收玫，且在同一个括号中，各项符号相同．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 也收玫。

12．$\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无零点，则当 $n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也无零点，且有 $\displaystyle \frac{1}{f_{n}(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．

13．设 $\displaystyle f\left(x_{n}, v_{n}\right)$ 存在，$\displaystyle f(x, v)$ 在 $\displaystyle \left(x, v_{n}\right)$ 连续，证明 $\displaystyle f(x . v)$ 在 $\displaystyle \left(x_{n}, v_{n}\right)$ 可微。

7．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{1}{2}\right)$

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)<0$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

9．$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, p, q \in N, \frac{p}{q} \text { 为既约分数 } \\ 0, x \text { 为 }(0,1) \text { 中的无理数 }\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle \forall x_{0} \in(0,1), \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x), f(0)=0$ ，证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

八、（20 分）设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，证明：$\displaystyle \left\{g\left(\left|f_{n}(x)\right|\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致鈫于 $\displaystyle g(|f(x)|)$ ．

六、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}0, \quad x=0 \\ \frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1]\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．

四、（15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言证明：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f\left(\frac{1}{x}\right)$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} f\left(\frac{1}{x}\right)$ ．

九、（10 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x+\alpha} e^{-\alpha x} d x$ 对 $\displaystyle \alpha \in[0, b](b>0)$ 一致收敛．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f\left(\frac{a-b)}{2}\right)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(\xi)(b-a)^{3} $$

六、（10 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调递增，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明： $$ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0 $$

四、（15 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界数列，记 $$ \bar{a}_{n}=\sup \left\{a_{n}, a_{n+1} \cdots\right\}, \underline{a_{n}}=\inf \left\{a_{n}, a_{n+1} \cdots\right\} . $$ 证明：$\displaystyle \left\{\overline{a_{n}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\underline{a_{n}}\right\}$ 都收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \bar{a}_{n} \geq \lim _{n \rightarrow \infty} \underline{a_{n}}$ ．

2．讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．

3．设 $\beta>0, \alpha>1$ 为常数，计算无穷积分 $I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+\beta x^{\alpha}}$ ．

4．设 $\alpha>0$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]$ ．

12．对常数 $a>0$ ，记平面区域 $D: x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$ 的边界为 $\partial D$ ．设二元函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有连续偏导数，且 $f(x, y)=0,(x, y) \in \partial D$ ．证明： $$ \left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{\pi a^{2}}{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}} $$

三．证明题．前两题各 10 分，后两题各 15 分．

10．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left(\int_{a}^{b} e^{-n f(x)} \mathrm{d} x\right)=-\min _{x \in[a, b]} f(x)$ ．

11．（15 分）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n} \arctan x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

7．（ 15 分）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{2025}{2026}, x_{n+1}=\sin x_{n}(n=1,2, \cdots)$ ． （1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ． （2）试证明：存在正整数 $m$ ，使得存在 $\displaystyle c \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{m}} x_{n}=c$ ．

8．（15 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0,\left\{b_{n}\right\}$ 的部分和有界，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。

9．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可导，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，证明： $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\tan x)-f(\sin x)}{x^{3} \ln (1+x)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) $$

一、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上单调递增，证明对于任意的 $\displaystyle x_{0} \in(a, b), \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 均存在且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ．

九、设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1, f(x) \geqslant 0, x \in R$ ，且 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon} f\left(\frac{\pi}{\varepsilon}\right)$ ，记 $\displaystyle \varphi(x)$是一有界非负函数，证明： $\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) d x=\varphi(0)$ ．

二、已知 $\displaystyle p(x)=1-x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n}$ ，证明若 $n$ 为奇数时无根，$n$ 为偶数时仅有一根．

五、已知 $\displaystyle F(r)=\int_{0}^{2 \pi} e^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) d \theta$ ，证明：$\displaystyle F(r) \equiv r$ ．

六、已知函数 $\displaystyle u=u(x, y, z)$ 满足 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}+u}+\frac{y^{2}}{b^{2}+u}+\frac{z^{2}}{c^{2}+u}=1$ ，证明： $$ \left(u_{x}+u_{y}+u_{z}\right)^{2}=x u_{x}+y u_{x}+z u_{z} . $$

十、设函数 $\displaystyle f(u)$ 在区间 $\displaystyle [A, B]$ 上连续，$\displaystyle u=\varphi(t)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上可积，当 $\displaystyle t \in(a, b)$ 时， $\displaystyle A \leqslant \varphi(t) \leqslant B$ ，证明：$\displaystyle f(\varphi(t))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可积．

10、（15 分）$f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) d x=f(1)$ ．

2、（15 分）已知 $\displaystyle f(1)=f(0), f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(\xi)=f\left(\xi+\frac{1}{2}\right)$ ．

4、（15 分）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} R(x)=0, R(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q} & \left(x=\frac{p}{q}, p, q \text { 互质 }\right) \\ 0 & x \text { 为无理数，} 0,1\end{array}\right.$ ．

九、（本题满分 10 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,2)$ 上可导，且满足 $\displaystyle f(0)=f(2)$ ，证明：$\displaystyle \left(\int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) d x\right)^{2} \leq \frac{2}{3} \int_{0}^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x$ ．

五、（本题满分 10 分）已知 $\displaystyle x>0$ ．证明：$\displaystyle \sqrt{x+3}-\sqrt{x}=\frac{3}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ，其中 $\displaystyle \frac{3}{4} \leq \theta(x) \leq \frac{3}{2}$ ．六、（本题满分 10 分）设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{4} t \\ y=\sin ^{4} t\end{array}\right.$ 确定，求 $\displaystyle \left.\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ ．

十一、（本题满分 10 分）已知函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由方程 $\displaystyle e^{x}+2 y-e^{y}=0$ 所确定，求 $\displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．

十四、（本题满分 10 分）回答下列问题： （1）利用柯西收敛准则证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散； （2）试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{e^{n!}}$ 收玫。

四、（本题满分 10 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \sin x^{2}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上非一致连续．

1．设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0<b_{n}<b_{n+1}(n=1,2, \ldots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ 。证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{1}+\cdots a_{n} b_{n}}{b_{n}}=0 $$

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{2 f^{\prime}(\xi)}{1-\xi}$.

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{6}(b-a)^{3} $$

1．$A$ 是有界数集， $\displaystyle \sup S=a \notin S$ 。证明存在严格单调递增数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset S$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a 。$

2．$\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}+\cdots, \alpha>0$ 。讨论 $\displaystyle a_{n}$ 的玫散性。

4．证明 $\displaystyle f(x)=\frac{1+\sin ^{2} x}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续但不一致连续。

1、（15 分）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ ，数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 严格递增，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=+\infty$ ，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}=a$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=a$ ．

三、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq \alpha<1$（ $\displaystyle \alpha$ 为常数）．取 $\displaystyle x_{0} \in (-\infty,+\infty)$ ，令 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x^{*}$ 存在且 $\displaystyle x^{*}$ 是方程 $\displaystyle x=f(x)$ 的根．

二、讨论题（给出结论，认为正确的要证明，认为不正确的给出反例并验证，每题 10 分，共 30分）

六、（20 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续，且有连续的导数．

四、（10 分）证明函数 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right. $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的邻域中连续，$\displaystyle f_{x}(x, y)$ 和 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 有界，但在点 $\displaystyle (0,0)$ 不可微．

3．设 $f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

7．若 $x y z e^{x+y+z}=1$ ，则 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ .

8．若广义积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛，则 $p$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

10．曲面积分 $\iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geq 0$ ．

3．用 $C[-1,1]$ 表示闭区间 $[-1,1]$ 上连续函数的合集，对任意的 $f(x) \in[-1,1]$ ，记 $A(f(x))=\int_{-1}^{0} f(x) d x-\int_{0}^{1} f(x) d x$ ．求 $\sup \left\{A(f(x))\left|\max _{-1 \leqslant x \leqslant 1}\right| f(x) \mid \leqslant 1, f(x) \in C[-1,1]\right\}$ ．

3．证明 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $(c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续，在 $(0,1)$ 上非一致连续．

4．描述区间套定理，并用区间套定理证明致密性定理．

3．证明 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．

4．描述区间套定理，并用区间套定理证明致密性定理．

3．设 $f(x)=\frac{x^{4}}{1-x^{2}}$ ，则 $f^{(2026)}(0)=$ $\_\_\_\_$。

7．设 $p>0$ ，广义积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 条件收玫，则实数 $p$ 满足的条件是 $\_\_\_\_$ ．

8．级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!}=$ $\_\_\_\_$ ．

10．计算曲面积分 $$ I=\iint_{S} \frac{2 x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x+2)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} $$ 其中 $S: z=-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ ，取上侧，则 $I=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设 $f(x, y)$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上有二阶连续偏导数，且 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\sin \left(x^{2}+y^{2}\right) $$ 求 $\iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

七、利用 $\displaystyle x^{2} y^{3} z$ 在 $\displaystyle x+y+z=k(x, y, z>0, k>0)$ 下的极值证明：$\displaystyle x^{2} y^{3} z \leq \frac{(x+y+z)^{6}}{432}$ ．

九、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上，且 $$ f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right), $$ 若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)=f(x)$ ．

十、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$都存在，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

十一、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：存在严格增大的 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty \text { 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \text {. } $$

七．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 上有定义，关于 $\displaystyle x, y$ 连续且关于 $y$ 单调递减，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 上连续．

三．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ ，证明存在一点 $\displaystyle c \in(a,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$

九．证明 $\displaystyle f(s)=\int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微．

二．（1）已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=a$（有限数），证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=0$ ． （2）． $\displaystyle 0<k \leq 1$ ，用 Cauchy 准则证明 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{3^{k}}+\cdots+\frac{1}{n^{k}}$ 发散。

八．已知 $\displaystyle a, b>1, F(x)$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ ，且 $\displaystyle F(a x)=b F(x)$ ，证明 $\displaystyle F(x)$ 在 0 处右连续．

十．已知设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减趋于零，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}$ 同玫散． 十一。设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ （1）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续； （2）．证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

10．（14 分）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x$ 关于 $y$ 在 $\displaystyle \left[y_{0},+\infty\right)\left(y_{0}>0\right)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$上非一致收敛。

11．（14 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上分段连续，即存在 $\displaystyle [a, b]$ 的一个有限分割 $\displaystyle a=x_{0}<x_{1}< x_{2}<\cdots<x_{n}=b$（其中 $n$ 为固定整数），使得 $\displaystyle f(x)$ 在每个区间 $\displaystyle \left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ 上连续且分点 $\displaystyle x_{i}$ 处都存在左右极限．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．

2．（13 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=\frac{\mathrm{e}^{b} f(b)-\mathrm{e}^{a} f(a)}{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}} $$

3．（13 分）证明函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但是偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$可微。

6．（14 分）证明：黎曼 zeta 函数 $\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续且无穷次可微。

7．（14 分）解答如下问题： （1）用定义证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin n$ 不存在． （2）证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，其中 $$ x_{n}=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right), n=1,2, \cdots $$ 并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

8．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上无穷次可导（其中 $\displaystyle r \in(0,+\infty)$ ），且存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $$ \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M \frac{n!}{r^{n}}, \forall x \in\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right), \forall n=0,1,2, \cdots . $$ （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的 Taylor 级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．

9．（14 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $$ \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos (\lambda x) \mathrm{d} x=0 $$

1、（12 分）已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{0}=a>0, x_{n}=\arctan x_{n-1}, n=1,2, \cdots$ ．证明： （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=0$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{2 n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．

10、（12分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ． 证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \cdot \ln \left(\frac{b}{a}\right)$ ．

12、（15 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x \cdot e^{-n^{2} x^{2}}, x \in[0,1], n=1,2,3, \cdots$ ．证明： （1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ． （2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ？判断并给出理由． （3）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上积分平均收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ ．

2、（12 分）已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} \ln x, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续。

3、（12 分）设 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，证明：$\displaystyle \frac{1}{\sin ^{2} x} \leq \frac{1}{x^{2}}+1 \frac{4}{\pi^{2}}$ ．

4、（14 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$ 证明：（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，且 $\displaystyle d \mathbf{f}(0,0)=0$ ． （2）若 $\displaystyle g(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处有偏导数，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \mathbf{d} \mathbf{f}(\mathbf{0}, \mathbf{0})=\mathbf{0}$ ．

5、（12 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 内可导． （1）证明：若 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ ，使得 $$ f(1)=1+(1+\xi) f^{\prime}(\xi) \cdot \ln 2 . $$ （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \cdot(\sqrt[n]{1+x}-1)=\ln (1+x),(x \in(0,1))$ ．

6、（12 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：存在折线段函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ ， $\displaystyle (n=1,2, \cdots)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．

9、（12 分）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有意义，证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 . $$

1．设 $x_{0}=2, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{3}{x_{n}}\right)(n=0,1, \cdots)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{3}$ ．

3．$f$ 在 $[0,2]$ 上二阶连续可微，且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$ ．若 $f$ 在 $(0,2)$ 内能取到最大值，证明： $$ \left|f^{\prime}(0)+f^{\prime}(2)\right| \leq 2 M $$

5．设 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且绝对可积．证明：$g(w)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (w t) \mathrm{d} t$ 在 $w \in(-\infty,+\infty)$上有界且一致连续．

7．解答如下问题： （1）求 $|\sin x|$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的傅里叶级数，该级数是否一致收敛？ （2）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x)|\sin \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．

8．记区域 $D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ，证明：$e^{x y}+\ln (1+x y) \geq 1+x y$ ，并说明取等条件．

1．求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+x)^{x}-5^{x}}{x^{2}}$ ．

2．求 $$ I=\int_{L}\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z $$ $L$ 是 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ 与 $y^{2}+x^{2}=2 b x$ 的交线，方向是经由 $y>0$ 的方向再回到原点 $(a>b)$ ．

3．（可能有误）已知 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z, \Sigma$ 是一光滑封闭曲面，$\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是单位球体上的一点， $\mathbf{n}$是 $\Sigma$ 的单位外法向量，计算 $$ I=\iint_{\Sigma}\left(f \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial n}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|\mathbf{r}|$ 。（ $I$ 应该无误，其余 $\Sigma, \mathbf{n}$ 等有关叙述可能不太准则）

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

2、求曲面 $x^{2}+y^{2}=a z,(a>0), z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成立体区域的体积．

2．（15 分）将 $f(x)=\ln x$ 按 $\frac{x-1}{x+1}$ 进行泰勒展开．

7．（15分）设 $f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 连续 $\left(x_{1} x_{2}>0\right)$ ，在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 可导，证明：存在 $\xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使得 $$ \frac{1}{x_{2}-x_{1}}\left|\begin{array}{ll} x_{1} & f\left(x_{1}\right) \\ x_{2} & f\left(x_{2}\right) \end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi) . $$

8．（15分）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶导数，且满足 $$ f(x)+f^{\prime \prime}(x)=-x g(x) f^{\prime}(x), $$ 其中 $g(x) \geqslant 0$ ．证明：$|f(x)|$ 有界．

9．（15 分）设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 的二阶可导函数，且 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(x) \geqslant 0$ ，证明： $$ \max _{x \in[a, b]} f(x) \leqslant \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x . $$

10．（15 分）证明：$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \in \mathbb{Q}^{c}\end{array}\right.$ 在无理点连续，在有理点不连续．

2．求 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ．（6 分）

2．问 $\left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？（8分）

1．求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ，问 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否可微？（7 分）

1．证明：$a_{n+2}+a_{n}=\frac{1}{n+1}$ ．（5 分）

2．判断 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin n$ 的收敛性（绝对收敛、条件收敛还是发散）。（10分）十一、已知 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x^{2}\right)}{n^{2}}$ ．（15分）

3．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) d x$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$.

6．二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 是否可微？ 理由．

3、 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a) \neq f(b)$ ，试证：$\displaystyle \exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\varphi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$.

8、 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-12 x+16 y$ 在区域 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 25\right\}$ 最大、小值．

2、设 $f(x)=x^{2} e^{x}$ ，则 $f^{(10)}(0)=$ $\_\_\_\_$

4． $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。

5、函数 $f(x, y)=x^{3}-x^{2}-x y+y^{2}$ 的极值点为 $\_\_\_\_$

7、拉普拉斯算子 $\Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ 在极坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$ ， $\theta \in[0,2 \pi]$ 下的表达式为 $\_\_\_\_$ ．

9． $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 4}\left(x^{2} \sin y+x \ln \left(1+y^{2}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。

1、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，证明：$f(x)=O(x),(x \rightarrow+\infty)$ ．

3、设 $x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n},(\forall n \geq 1)$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

二、解答题．（每题 15 分，共 90 分）

10．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ，当自然数 $\displaystyle n \rightarrow+\infty$ 时，有 $\displaystyle f(x+n) \rightarrow 0$ ．证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0 ．

11．（14分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 . g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x, y) g(x, y)$在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle \mathrm{d}(f g)\left(x_{0}, y_{0}\right)=g\left(x_{0}, y_{0}\right) \mathrm{d} f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．

12．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上非负且严格单调增加的连续函数．证明：对任意的正整数 $n$ ，存在唯一的 $\displaystyle x_{n} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)^{n}=\int_{0}^{1}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．

3．（12 分）要做一个容器为 $\displaystyle 1 \mathrm{~m}^{3}$ 的无盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？

8．（12 分）证明：方程 $\displaystyle e^{x}=x^{2}+5 x+1$ 的实根不超过 3 个．

9．（12 分）设 $\displaystyle f:[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=a \in(0,+\infty)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f(x)$存在且为正．

1．$S$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geq 0$ 的上侧；

2．$S$ 为 $(x-2)^{2}+2 y^{2}+4 z^{2}=1$ 的外侧．

八．（12 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，证明： 1．若 $\displaystyle f^{\prime}(a)<0, f^{\prime}(b)>0$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ； 2．若 $\displaystyle f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b)$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ ．

十．（ 12 分）求含参量反常积分 $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin \beta x}{x} \mathrm{~d} x(\beta \in \mathbb{R}) $$ 十一。（15 分）证明：$n$ 元实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ 在单位球面 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 上的限制的最大、最小值佮为对称阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的最大、最小特征根。

十二，（15 分）已知 $\displaystyle f_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t(n=0,1,2, \cdots)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$上一致收敛。

1、 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上一致连续．

2、 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 上不一致连续．

1、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1]$ 上不一致收敛。

2、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[\alpha, 1]$ 上一致收敛，其中 $0<\alpha<1$ ．

四、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(b)=f(a)+\frac{b-a}{2}\left[f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right]-\frac{(b-a)^{3}}{12} f^{\prime \prime}(\xi) $$ 1、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 和 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续． 2、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上不一致连续．

1、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上可导，若 $\displaystyle f(x)$ 有两个零点，试着证明在这两个零点之间必定有 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)$ 的零点。

11、设每个函数 $\displaystyle u_{n}(x),(n=1,2, \ldots)$ 在点 $\displaystyle x=c$ 处连续，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(c)$发散，证明：对任意 $\displaystyle \delta>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (c, c+\delta)$ 内不一致收敛。

12、证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 有连续导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $$ f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right], $$ 则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 一致收玫于导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．

2、证明：当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，有 $\displaystyle e^{2 x}<\frac{1+x}{1-x}$ ．

3．若 $\displaystyle x_{0}=1, x_{1}=\frac{1}{x_{0}{ }^{3}+4}, x_{2}=\frac{1}{x_{1}{ }^{3}+4}, \cdots, x_{n+1}=\frac{1}{x_{n}{ }^{3}+4}, \cdots$ ，证明： （1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛； （2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限值 $a$ 是方程 $\displaystyle x^{4}+4 x-1=0$ 的唯一正根．

5、设 $\displaystyle u=f(r)$ 二阶连续可导，且 $\displaystyle r^{2}=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+\cdots+x_{n}{ }^{2}$ ，证明： （1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} r},(r \neq 0)$ ． （2）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=0$ 的解。

9、设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上正常可积，且 $$ f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t,(n=1,2, \cdots) $$ 证明：函数序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．

1、给定两正实数 $\displaystyle a_{1}$ 与 $\displaystyle b_{1},\left(a_{1}>b_{1}\right)$ ，作出其等差中项 $\displaystyle a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ 与等比中项 $\displaystyle b_{2}= \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ，一般地，令 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n=1,2,3, \cdots)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}$ 皆存在且相等。

11、设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上有界，同时对每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ ，存在 $\displaystyle M_{n}>0$ ，使得对任意 $\displaystyle x \in I$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M_{n}$ 。证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{I}$ 上一致有界。

12、证明： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 收敛但非一致收敛。 （2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．

2、假设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，若 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $I$ 上的严格下凸函数，其中 $\displaystyle x_{0} \in I$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，证明：$\displaystyle x_{0}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上的唯一极小值点．

3、设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个连续周期函数，周期为 $\displaystyle p>0$ ，证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{p} \int_{0}^{p} f(t) \mathrm{d} t . $$

10．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ．证明：对任意的 $\displaystyle x \in(0,1)$ ，存在 $\displaystyle \xi(x) \in(0, x)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(\xi(x)) x$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\xi(x)}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．

11．（10 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正项数列，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （1）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}$ 发散； （2）举例说明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}$ 可以收敛．

2．（10 分）设 $\displaystyle 0<x<\pi$ ，证明： $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln \left(1+\frac{\sin x}{2}\right)}-\frac{2}{\sin x}<1$ ．

8．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且存在正数 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle f(x) \leq \alpha \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：对任意的 $\displaystyle x \geq 0$ ，有 $\displaystyle f(x) \leq 0$.

9．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一闭区域，$\displaystyle \Sigma$ 为其边界，且分段光滑，$\displaystyle u, v$ 有连续的二阶偏导数，证明： $$ \iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为 $u$ 沿曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外法线方向的方向导数，$\displaystyle \nabla u, \nabla v$ 为 $\displaystyle u, v$ 的梯度．

2．设 $f(x)=x^{3} \cos x$ ，求 $f^{(2023)}(0)$ ．

七．（10 分）证明不等式： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 ; \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ 证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续．

九．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上无界的连续函数．问： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否发散？给出证明或反例．

二．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}=1$ ，且当 $\displaystyle n \geq 2$ 时，$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}}\right)$ ．证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．

八．（10 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，并存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(c)>c^{2}$ ．证明：至少存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)<2$ ．

六．（10 分）设 $\displaystyle u(x, y, z)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}$ ，求在原点处函数 $u$ 增长最快的方向．

十．（10 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积的函数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $f$ ．证明： （1）$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （2）$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle F(x)$ ，其中 $\displaystyle F_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．

十一．（10 分）设 $u$ 是平面开区域 $D$ 上的二元函数，且所有的偏导数连续．证明：$u$ 是 $D$ 上的调和函数，即在 $D$ 上 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 \Longleftrightarrow$ 对 $D$ 内任意圆周 $L$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n}=0$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u$ 在 $L$ 上的外法向导数．

十二．（10 分）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0, \pi)$ ，使得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \xi}{n \ln ^{2}(n+2)}=0$ ．

1、设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{2}}, x \neq 0 \\ 1, x=0\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle f^{(2024)}(0)$ ．

5、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明：$\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积。

6、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且有 $$ f^{\prime}(x)+f(x) \tan x=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$ 证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上恒为零．

9．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)<0<f(1)$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) \mathbf{>} \mathbf{0}$ ． （1）证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ． （2）记 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=\xi$ ． （3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{\left(x_{n}-\xi\right)^{2}}$ ．

2．（20 分）已知函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ． （1）证明：存在 $\displaystyle \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta)=\eta$ ． （2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$ ．

3．（15 分）证明：在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上，有 $\displaystyle \sin x \geq \frac{2}{\pi} x+\frac{1}{12 \pi} x\left(\pi^{2}-4 x^{2}\right)$ ．

4．（15 分）解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ． （2）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．

9．（15 分）二元函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上具有二阶连续偏导数，且在边界 $\displaystyle \partial D$ 上 $\displaystyle u=0$ ．如果 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x, y)+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}(x, y)=-\lambda u(x, y), \forall(x, y) \in D $$ （1）证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda \iint_{D} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ． （2）若存在函数 $\displaystyle f, g$ ，使得 $u$ 可以表示为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ，且在区域 $D$ 内部 $\displaystyle u>0$ ，求 $\displaystyle \lambda$ 的值．

2．对 $n \geq 1$ ，定义 $A_{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n} k \sin \left(\frac{k-1}{n} \pi\right)}{n^{2}}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}$ ．

2．$x^{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+x y(x-y) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}-y^{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+2=0$ ．

1．给出函数列一致收敛的定义．

2．对 $n \geq 1$ ，设 $S_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，证明：函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．

二．设函数 $f$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq 4 \frac{|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}} $$

三、（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上三次可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)$ 均存在，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0$ ．

九、（16 分） （1）证：广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 收敛。 （2）证：广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} d x$ 发散。 （3）利用上述结论判断积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{1}{3}}-1\right] d x$ 是否收敛？是否绝对收敛？并证明上述结论．

五、（15 分）设函数为 $\displaystyle f(x)$ 连续函数． （1）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ ． （2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) d x$ 的值．

八、（12 分）试证：无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{3} x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但不一致收敛．

四、（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 连续，且存在常数 $c$ 使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-c x]=0$ ，证明： $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

七．（15 分）设 $\displaystyle \lambda \geq 1$ ，定义 $\displaystyle I(\lambda)=\int_{0}^{1} \cos \left(\lambda x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，证明：存在与 $\displaystyle \lambda$ 无关的常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle |I(\lambda)| \leq \frac{c}{\sqrt{\lambda}}$ ．

三．（10 分）证明：设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上只有第一类间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的有界函数．

九．（10 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin n x}{n \ln n}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续．

五．（15 分）证明：函数 $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，其中 $\displaystyle a>0$ ，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致连续．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的有界函数，定义 $$ \varphi(x)=\sup _{t \in(0,1)}(f(t)+\sqrt{x} g(t)), x \in(0,1) $$ 证明：存在常数 $\displaystyle C \geq 0$ ，使得对任意 $\displaystyle x, y \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle |\varphi(x)-\varphi(y)| \leq C \sqrt{|x-y|}$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{2}>0$ ，定义 $\displaystyle a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，若 $\displaystyle \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．

3．已知 $f(x)=\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{1}{1+\tan y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．

6．求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n(x-1)^{n}$ 的收玫域与和函数．

2．当 $p>0$ 时，讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right)$ 在 $p$ 为何值时绝对收敛，条件收玫及发散．

2．证明：$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充分必要条件为对任意 $(0,1)$ 中的柯西列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为柯西列．

1．解答如下问题： （1）已知 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ ． （2）设 $\displaystyle 0<p<1,0<x_{1}<\frac{1}{p}, x_{n+1}=x_{n}\left(1-p x_{n}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{p}$ ．

2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=x_{0}$ 处可导． （1）记 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{0}+\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(x_{0}+\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(x_{0}+\frac{n}{n^{2}}\right)-n f\left(x_{0}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ． （2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^{2}}+\sin \frac{2}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n}{n^{2}}\right)$ ． （3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n^{2}}\right)$ ．

3．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x)$ 为三次多项式，$\displaystyle x \in[-1,1]$ ．证明： $$ \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}[f(1)+4 f(0)+f(-1)] $$ （2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的三次多项式，证明： $$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] $$

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，对任意的 $\displaystyle h>0$ ，序列 $\displaystyle \{f(n h)\}$ 极限存在．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．

5．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle M>0$ ，对任意的正整数 $n$ 及 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \leq M$ ． （2）若 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，那么 $\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$ ．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} f(x) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle \alpha \in[0,+\infty)$ 上一致收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

1．已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\sqrt{5 x_{n}}$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫并求其极限．

2．已知 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是无界数列，但不是无穷大量．证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 存在两个子列，一个是收敛数列，另一个是无穷大量．

4．解答如下问题： （1）若 $\displaystyle 0<\eta<1$ ，证明：$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (\eta, 1)$ 上一致连续． （2）证明 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致收敛．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，任取 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{1}\right) f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ．证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 介于 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$之间，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

7．解答如下问题： （1）证明： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|x-\frac{a+b}{2}\right|^{n} \mathrm{~d} x=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{2^{n}(n+1)}$ ． （2）已知 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, \int_{0}^{1} x^{k} f(x) \mathrm{d} x=0(k=0,1,2, \cdots, n-1)$ ．证明： $$ \max _{x \in[0,1]}|f(x)| \geq 2^{n}(n+1) $$

8．证明：$\displaystyle x \rightarrow a$ 时 $\displaystyle f(x, y)$ 一致收敛于 $\displaystyle \varphi(y)$ 的充要条件是对任意趋近于 $a$ 的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, f\left(x_{n}, y\right)$ 一致收敛于 $\displaystyle \varphi(y)$ 。

2．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0) f(1)>1, f^{\prime \prime}(x)>0, \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （1）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上恰有两个零点． （2）证明至少存在一点 $c$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(c)=\int_{0}^{c} f(x) \mathrm{d} x$ ．

4．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，$\displaystyle g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微。

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，且对任意的 $\displaystyle x \in(0,1), f(x) \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x>4$ ．

6．已知方程 $\displaystyle k y-\sin y+x \cos y=0, k>1$ ． （1）对任意的 $\displaystyle |x|<k-1,|y|<+\infty$ ，能唯一确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ． （2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．

8．有收敛级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=S$ ． （1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ ． （2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ 收敛，并且求其和． 9 ．求 $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x=0, x=1, x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ ．

7．（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} \sin \pi t \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x} \frac{\sin \pi t}{1-t} \mathrm{~d} t, 0 \leq x \leq 1$ ． （2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} \sin \pi t \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle x \in[0,1]$ 上一致收敛。

4．设实数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛。

6．叙述判断反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫的 Abel 判别法．

7．叙述判定函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 关于 $x$ 在集合 $D$ 上一致收敛的 Cauchy 收敛原理．

8．叙述二元函数 $z=z(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微的定义．

9．计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+2 x^{2}+1}-\sqrt[5]{x^{5}+3 x^{4}-2}\right)$ ．

16．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且满足 $0<m \leq f(x) \leq M$ ，证明： $$ 1 \leq \frac{1}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{~d} x}{f(x)} \leq \frac{(m+M)^{2}}{4 m M} $$

七．证明：函数 $\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n!)^{2}}$ 满足方程 $\displaystyle x y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0$ ．（15 分）

九．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](b>a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{(b+a) f^{\prime}(\eta)}{2 \eta}$ 。（15 分）

二．（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上的一致连续函数，求证 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续． （2）试举例说明：（1）中开区间若无＂有限＂条件，则结论不成立．（20 分）

五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, A]$ 上连续，证明： $$ \left.\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{\infty}[f(t+h)-f(t)] d t=f(x)-f a\right) \quad(a<x<A) . \quad(15 \text { 分 }) $$

八．（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x), f(0)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$. （2）证明：不存在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(x)+\sqrt{f(x)} \leq 0$ 。（20 分）

十．设 $\displaystyle \left\{P_{n}(x)\right\}$ 是多项式序列，且在 $R$ 上一致收敛于 $\displaystyle P(x)$ 。证明：$\displaystyle P(x)$ 也是多项式。（10 分） $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle \_\_\_\_$

四．试用有限覆盖定理证明根的存在性定理。（15 分）

三．设函数 $f$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，且对任何 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}$ ，证明： （1）$f$ 可导；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。（15分）

九、（15 分）设 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}, \sigma_{n}=\frac{S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{n-1}}{n}$ ． 证明：（1）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛；则 $\displaystyle \sigma_{n}=o(n)$ ，（当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时）． （2）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,+1)$ 内绝对收敛，且 $$ f(x)=(1-x)^{2} \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) \sigma_{n+1} x^{n}, x \in(-1,1) $$

二．（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，试用极限定义证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}}{n}=a$ ； （2）举例说明上述结论反之不对，并对你的例子给出简要的说明。 （3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}}{n}=a$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[a_{n}-a_{n-1}\right]=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．（20 分）

五．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f^{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在，试证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)+f(a)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) . \quad(15$ 分 $\displaystyle )$ （共 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2页，第 $\displaystyle \_\_\_\_$页）

六．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二次可微，且 $\displaystyle x \in[0,2]$ 时 $\displaystyle |f(x)| \leq 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$ ．证明： $$ \left|f^{\prime}(x)\right| \leq 2, \quad x \in[0,2] \quad(10 \text { 分 }) $$

四．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微，且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) d x$ 均收玫，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x)=0 .(15$ 分 $\displaystyle )$

三．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$ ，证明： $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．（15 分）

九、设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在正方形区域 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 上连续，记 $\displaystyle I=[0,1]$ 。（15 分）． （1）．试比较 $\displaystyle \inf _{y \in I} \sup _{x \in I} f(x, y)$ 与 $\displaystyle \sup _{x \in I} \inf _{y \in I} f(x, y)$ 的大小并证明之； $$ \begin{aligned} & \frac{4 y^{2}-x^{2}-8 x y}{\left(x^{2}+x y^{2}\right)^{2}} \\ & =0 . \end{aligned} $$ （2）给出并证明使等式 $\displaystyle \inf _{y \in I} \sup _{x \in I} f(x, y)=\sup _{x \in I} \inf _{y \in I} f(x, y)$ 成立的充分条件；（你认为最好的）

二．设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b) \supset f^{\prime}(c)=0$ ．（15 分）

五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内递增，对任何正数 $\displaystyle T, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, T]$ 上可积，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=C \quad(C \text { 为常数 }) $$ 证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．（15 分）

八、设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限为 $a$ ，证明 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1-}(1-x) f(x)=a$ ．（10 分）对 $\displaystyle \frac{a_{n}}{a} \frac{\left.a_{n}\right)^{n}}{a_{n}}=$. $$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\widetilde{\left(x^{2}+4 y^{2}\right)^{2}} $$

六．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。求证  1）对任意自然数 $n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内有且仅有一个解； 2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的解，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{\pi}{6}$ ．（20 分）

十、（1），证明 $\displaystyle l(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{y}{2+y^{x}} d y$ 在 $\displaystyle (2,+\infty)$ 内连续； $$ \ln _{n \rightarrow b} a_{n}=a . $$ （2）利甲欧拉积分计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} d x$ ；其中 $\displaystyle \Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} ;(0<s<1)$ 。（15分）。 $$ m \times \frac{m}{n_{n}}-\frac{1}{n^{2}} $$

四．设数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \left.\quad q>r^{n}=m \sqrt[n]{n}\right)^{n} \neq 0$ 。 （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \quad$ of $\displaystyle \quad \forall \quad \forall 0 \quad 7^{\circ} \quad h^{m} \quad r \sqrt{n}=n^{-b} \quad$ 当 （2）当数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ （3）当 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \sim$ ar  对上述结论中正确的给予证明，错误的给出反例。（15 分）

1．$(0,1)$ ；

2．$(1,+\infty)$ ．

1．设正项然数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\forall k>0$ ，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散，

2．证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。

六、证明下列各题。（15分） 1．设正项然数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散， 2．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。

七、（15分）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期，且具有二阶连续可微的函数，$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x$ ， $\displaystyle b_{n}^{*}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{\prime \prime}(x) \sin n x d x$ 。若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{\prime \prime}$ 绝对收敛，证明：$\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\left|b_{n}\right|} \leq \frac{1}{2}\left(2+\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}^{\prime \prime}\right|\right)$ ．

三、（15 分）若 $\displaystyle f^{\prime}(a)>0$ ，能否断定函数 $f$ 在点 $a$ 的某个邻域 $\displaystyle U(a ; \delta)$ 内单递增？若是，请简要证明；若不能，请举例说明．

九、（15分）设 $\displaystyle f_{x}, f_{y}$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在，且在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微，证明： $$ f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right) $$

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) d x$ ．

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

四、（15 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle 0<\delta<1$ ，使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

一、（15 分）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{1^{\alpha}}+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}(\mathrm{n}=1,2, \cdots)$ ，证明： （1）当 $\displaystyle \alpha=1$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 发散； （2）当 $\displaystyle \alpha=2$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛； （3）当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．

七、（12 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x \in[-a, a], x \neq 0$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq|x|$ ． $$ \text { 又 } f_{1}(x)=f(x), f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \cdots, f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right), \cdots $$ 证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛于 0 ．

九、（12 分）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 的最大值，其中 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 r^{2}$ $\displaystyle (x, y, z$ 均 $\displaystyle >0, r>0)$ ，并利用所得结果证明不等式 $$ a b c^{3} \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5} \cdot(a, b, c \text { 均 }>0) $$

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内周期为 $\displaystyle T(>0)$ 的连续函数，证明： （1）任给 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty), \int_{a}^{a+T} f(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) d x$ ； （2）$\displaystyle \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t$ ．

十、（12 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{d x}{\sqrt{3+\cos x}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} B\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ ．

四、（15 分）（1）证明 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续； （2） $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内一致连续； （3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内一致连续．

1．设函数 $h(x)$ 在 $R$ 上可导，且存在 $K \geq 0$ 使 $$ \left|h^{\prime}(x)\right| \leq K, \forall x \in R . $$ 则 $h(x)$ 在 $R$ 上一致连续。

1．证明 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续；

2．求 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ；

3．证明 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 不可微．

2．存在 $c \geq 0$ 使 $$ \begin{gathered} \left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq c, n=1.2 \cdots \quad \forall x \in(a, b) \\ \left|f^{\prime}(x)\right| \leq c, \quad \forall x \in(a, b) \end{gathered} $$

3． $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in P$ ， ## 其中 $P$ 为 $(a, b)$ 中的有理数集． 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in(a, b)$ ．

四、完成下列各题并给出证明。（20 分） 设 $$ s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n x}}{n^{2}} $$

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明 （1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在； （2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微。

三、（15 分）（1）举例说明：有界可微函数的导函数不一定有界； （2）证明：有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的无界可微函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数必定无界．

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上一个非常数的连续函数，$\displaystyle M, m$ 分别是其最大值和最小值．求证：存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle m<f(x)<M$ ．

五、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）$\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \geq 1+\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t|f(t)| d t, x \in[0,1]$ ．证明： $\displaystyle \ln |f(x)| \geq \frac{x^{2}}{4}, x \in[0,1]$ ．

八、（15 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且 $\displaystyle \left\{f^{(n)}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致有界，且存在正数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\}$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n} \xi_{n}=0$ ，且 $\displaystyle f\left(\xi_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

六、（15 分）设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle g(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续．证明： $\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$.

十、（15 分）证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin \frac{1}{x}}{x^{p}} d x$ 在 $\displaystyle 0<p<2$ 中非一致收敛，但在 $\displaystyle 0<p \leq 2-\delta(0<\delta<2)$ 中一致收敛。

四、（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，且严格单调递增．证明：$\displaystyle (a+b) \int_{a}^{b} f(x) d x<2 \int_{a}^{b} x f(x) d x$ ．

2． $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ；

3．设 $u(x)=\sin x, v(x)=e^{x}$ ，求 $d^{2}(u v)$ ；

4． $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x d x$ ；

5．设 $0<a_{1}<1, a_{n+1}=a_{n}\left(1-a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛。 （1）若 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ． （2）若将（1）中的 $\displaystyle f(x)$ 单调改为 $\displaystyle f(x)>0(x \in[a,+\infty])$ ，是否还有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ？如果是，请给出证明；如果不是，请给出反例．

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是仅有正实根的多项式，$\displaystyle -\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ ．证明 $\displaystyle \lim _{n} \frac{c_{n}}{c_{n+1}}, \lim _{n} \frac{1}{\sqrt[n]{c_{n}}}$ 都存在且等于 $\displaystyle f(x)$ 的最小根。

四、（15 分）证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散。 （2）数列 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n} \quad(n=1,2, \cdots)$ 收敛．

2．用等价无穷小替换计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x}{1-\cos x}$ 。

3．设函数 $f$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right]=a$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 。

4、用定积分计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ 。

2．设 $p$ 表示原点到椭球面 $S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上任一点 $(x, y, z)$ 的切平面的距离，证明 $\oiint_{S} \frac{1}{p} d S=\frac{4 \pi}{3} a b c\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)$.

1．证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n+x^{2}}$ 关于 $x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，但不绝对收敛。

2．给出一个求正数 $a$ 的算术平方根的迭代算法，并分析算法的收玫阶。

三、（15 分）（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0$ ，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可积．证明： $$ |f(x)| \leq \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| d t ; x \in[a, b] $$ （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内连续可导．试证： $$ |f(x)| \leq \int_{0}^{1}\left[|f(t)|+\left|f^{\prime}(t)\right|\right] d t, \quad x \in[0,1] $$ 四 、（15 分 ）设 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=1, f(-1)=f(1)=0$ ．证 明 ：对 任 给 $\displaystyle a \in(-1,1), \quad \exists \xi \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=a$ ．

二、（15 分）设 $\displaystyle f \in C[a,+\infty)$ ，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，它以直线 $\displaystyle y=b x+c$ 为渐近线．证明：$f$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某邻域内二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 均不为 0 ．证明存在唯一组实数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，使得 $$ \lambda_{1} f(h)+\lambda_{2} f(2 h)+\lambda_{3} f(4 h)-f(0)=o\left(h^{2}\right) $$

六、（15 分）（1）证明： $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{2} d x$ 条件收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+1} \sin t^{2} d t=0$ ．

十、（15 分）设函数 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上对变量 $z$ 连续，对变量 $y$（关于 $z$ ）一致 连续，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在口 $\displaystyle { }^{3}$ 上有界，证明：$\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上连续．

七、设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明 （1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在； （2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．（15分）

三、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle U\left(x_{0} ; \delta_{1}\right)$ 内二阶连续可微，记 $\displaystyle I(\delta)=\frac{1}{2 \delta} \int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta} f(x) d x, 0<\delta<\delta_{1}$ （1）证明： $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} I(\delta)=f\left(x_{0}\right)$ ； （2）假设 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ．求 $\displaystyle I(\delta)-f\left(x_{0}\right)$ 当 $\displaystyle \delta \rightarrow 0^{+}$时的主要部分．（15 分）

二、设 $\displaystyle f(x)$ 是开区间 $I$ 内的凸函数，即对 $\displaystyle \forall x, y \in I$ 及 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，均有 $\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda) y) \leq \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 的任何闭子区间上有界，并举例说明 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 内不一定有界。（15分）

八、证明函数 $\displaystyle I(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x}{1+(x+y)^{2}} d x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导。（15分）

六、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上二阶连续可微，且 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f^{\prime}(-\pi)=f^{\prime}(\pi)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的 Fourier 系数有如下估计： $\displaystyle \_\_\_\_$ 602科目名称： $\displaystyle \_\_\_\_$数学分析 $$ a_{n}=o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) ; b_{n}=o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) ;(n \rightarrow \infty)(10 \text { 分 }) $$

十、设 $f$ 是有界开区域 $\displaystyle D \subset R^{2}$ 上的一致连续函数，证明： （1）．可将 $f$ 连续延拓到 $D$ 的边界； （2）．$f$ 在 $D$ 上有界．（15分）

四、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二阶可导，且有 $$ f(0)=f(1)=0, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1 . $$ 证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1), \ni f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．（15 分）

2． $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

4．设 $f(x)$ 可微，$y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，求 $\mathrm{d} y$ ．

5．设 $f(x) \in C(\mathbb{R})$ ，令 $F(t)=\int_{1}^{t} \mathrm{~d} y \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $F^{\prime}(t)$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上二阶可导，对于 $\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ，并且 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 的任意子区间上不恒为 0 ．证明：在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上 $\displaystyle \mid f(x)$ 至多有一个零点．

八、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ ：是 $\displaystyle [a, b] \times[c,+\infty)$ 上的非负连续函数，$\displaystyle I(x)=\int_{c}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y$在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上连续．证明：$\displaystyle I(x)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上一致收敛．

六、（15 分）证明：若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 I 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，并且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, f_{n}(x)$在 I 上有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 I 上一致有界。

四、（15 分）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

3、设 $0<k<1, a>0$ ，求极限 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{n-1}} k+\cdots+a k^{n-1}+k^{n}\right) $$

4、设 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，且 $z=f\left(x^{2}-y^{2}, e^{x y}\right)$ ，求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

1、用定义证明：$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致连续，在 $(0,1)$ 上非一致连续．

2、判断 $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}+\cdots$ 是否收玫？

1、举例说明上述命题是假命题．

2、在原命题上修改，使其为真命题，并证明．

七、（20 分）解答如下问题： （1）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，且 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y^{2}}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1 . $$ 试着问：点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的驻点？进一步讨论点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点？若是，是极大值点还是极小值点？若不是，请说明理由． （2）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ ，且令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cos \varphi\end{array}\right.$ ，若 $$ x u_{x}+y u_{y}+z u_{z}=0 $$ 证明：$u$ 仅为 $\displaystyle \theta$ 与 $\displaystyle \varphi$ 的函数．

三、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且对任何的 $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$ ，有 $$ f(x+y)=f(x)+f(y) . $$ 证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续． （2）对 $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f(1) \cdot x$ ．

二、（15 分）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $a$ 。 （1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+n \cdot a_{n}}{n}=0$ ． （2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n a_{1}+(n-1) a_{2}+(n-2) a_{3}+\cdots+1 \cdot a_{n}}{n}$ ．

五、（15 分）解答如下问题： （1）证明：若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则有 $$ \left[\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b}[g(x)]^{2} \mathrm{~d} x $$ （2）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ ．

六、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调递减，且 $$ f(x)>0, x \in[a,+\infty) . $$ 证明：反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 玫散性相同．

十、（10 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos \left(x^{2}\right)}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ 关于参变量 $y$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 里内闭一致收敛．

四、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上二次可微，且 $$ f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)=0 $$ 证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得： $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)| $$

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(-1)=-1, f(1)=1$ ． （1）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|<2$ ． （2）证明：存在 $\displaystyle \eta \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\eta)\right|>2$ ．

六．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有界区间 $I$ 上一致连续的充要条件是对任意 $I$ 中的柯西列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ，有 $\displaystyle \left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西列．

2． $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．

5．求第二型曲线积分 $\oint_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中，$L$ 为 $(x-1)^{2}+y^{2}=r^{2},(r>0$ 且 $r \neq 1)$ ，逆时针方向．

2． $\lim _{R \rightarrow+\infty} \iiint_{1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}} \frac{d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}(p>0)$ 的玫散性．

七．设 $\displaystyle \left\{U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)\right\}_{\lambda \in \Delta}(\Lambda$ 是一个指标集 $\displaystyle )$ 是 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 的一个无限开覆盖，证明下列问题（不可以直接用有限覆盖定理）

五．$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上的函数．证明：存在 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset(1,+\infty), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \forall M>0, \exists x>M,|f(x)-A|<\varepsilon$.

八．1．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，证明 $\displaystyle g(x)=\frac{|f(x)|}{1+x^{2}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有最大值．

六．$\displaystyle |f(x, y)| \leq F(x, y),(x, y) \in[0,1] \times[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y, \int_{0}^{+\infty} F(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义，$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N>0, \quad \sup _{x \in[0,1]} \int_{N}^{+\infty} F(x, y) d y<\varepsilon$ 。 （1）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} F(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛； （2）叙述 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y$ 一致收玫的柯西准则，并由此和（1）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

四．若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：存在子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}\right\}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{n_{k}}$ 绝对收玫．

1、若数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，且满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-x_{n-1}\right)=0$ ，则数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛．

七、（15 分）证明：含参量 $x$ 的反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \cos (x y)}{1+y^{2}} d y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\delta>0)$ ，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛．

三、（15 分）设 $\displaystyle U_{1}=2, \cdots, U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{n}+\frac{1}{U_{n}}\right), n=1,2,3, \cdots$ ． （1）证明：数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限． （2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)$ 的敛散性并证明．

五、（15 分）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{a} \ln \frac{1}{x^{2}+y^{2}} & , x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ b & , x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ． （1）$\displaystyle a, b$ 取何值，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $R$ 上连读． （2）$\displaystyle a, b$ 取何值，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

八、（15 分）叙述 $R$ 上的聚点定理，用聚点定理证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续函数 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

四、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $$ f_{1}(x)=f(x), f_{n}(x)=\int_{x}^{1} f_{n-1}(t) d t, x \in[0,1], \quad n \geq 2 $$ 证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

3．（15＇）设 $\displaystyle F(x, y, z)=x^{2}+\cos (x y)+y z+z^{2}+x-1$ ． （i）证明：方程 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 在 $\displaystyle (0,1,-1)$ 的某邻域内能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ． （ii）求（i）中隐函数在 $\displaystyle (0,1)$ 处的全微分 $\displaystyle \left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}$ ． （iii）求曲面 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 在点 $\displaystyle (0,1,-1)$ 处的切平面方程和法线方程．

4．（15＇）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶连续可微，且满足以下条件： （i）$\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ； （ii）$\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \forall x \in[a, b]$ ． （1）证明：方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有唯一的根 $\displaystyle \xi$ ； （2）取 $\displaystyle x_{0}=b$ ， $$ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} $$ 证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle \xi$ ，并计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{\left(x_{n}-\xi\right)^{2}}$ ．

5．（15＇）设 $\displaystyle \varphi(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}\left(2+x^{3}\right)} \mathrm{d} x$ ． （1）求 $\displaystyle \varphi(\alpha)$ 的定义域 （2）证明：$\displaystyle \varphi(\alpha)$ 在定义域内连续。

7．（15＇）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $\displaystyle (y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $\displaystyle (a, b)$ ，终点为 $\displaystyle (c, d)$ ，记 $$ I=\int_{L} \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y $$ （1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关； （2）当 $\displaystyle a b=c d$ 时，求 $I$ 的值．

8．（10＇）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且有 $\displaystyle 0<m \leq f(x) \leq M$ ，证明： $$ 1 \leq \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leq \frac{(M+m)^{2}}{4 m M} $$

3．将函数 $f(x)=\pi-x, x \in[0, \pi)$ 展开成正弦级数．

4．求曲线积分 $$ \int_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z $$ 其中 $\Gamma$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=4$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，其方向为从 $z$ 轴正方向向下看的逆时针方向。

2．$f(x)$ 在 $(0, a)$ 上非一致连续．

1．证明：$g(\alpha)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛；

三．（15 分）若函数 $$ f(x)=\frac{x+3}{x} \cos \left(\frac{1}{x}\right), a>0 $$ 为常数，证明：

二．（15 分）证明：若 $\displaystyle p_{k}>0, k=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（ $a$ 为实常数）．证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_{1} a_{n}+p_{2} a_{n-1}+\cdots+p_{n} a_{1}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}=a . $$

五．（10 分）证明： $$ \frac{1}{x(1+x)}>\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]^{2}, x>0 $$

四．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，如果存在 $\displaystyle [a, b]$ 的一个分割 $$ T=\left\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b\right\} $$ 及常数 $\displaystyle c_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，使得 $\displaystyle f(x)=c_{i}, x \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, f(a)=c_{1}$ ，则称 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$上的阶梯函数．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：对任意 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $$ \int_{a}^{b}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon $$

七．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4} x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ ．

九．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，证明 $$ \lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} f\left(0^{+}\right) $$

五．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，证明：存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)>0, x \in[\alpha, \beta]$ ．

六．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递减且 $\displaystyle f(x)>0$ ，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 具有相同的收敛性．

四．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq|f(x)|$ ，若存在 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ ，满足 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明 $\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in \mathbb{R}$ ．

3．计算 $$ \int_{L}\left(e^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y $$ 其中 $L$ 是起点为 $(a, 0)$ 经过圆周 $x^{2}+y^{2}=a x$ 上半部分（位于第一象限部分）到终点为 $(0,0)$ 的一段弧，其中 $a, m$ 为大于 0 的实常数。

七．（15 分）已知等式： $\displaystyle 2 \sin \frac{x}{2}\left(\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \cos k x\right)=\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x, x \in[-\pi, \pi]$ ，证明：

三．（15 分）设 $\displaystyle x, y$ 均为正实数，证明：

二．（20分）证明题．

五．（20分）证明：

六．（15 分）证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \sin x y}{1+y^{2}} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上内闭一致收敛．

七．（15 分）记 $$ C[a, b]=\{f \mid f \text { 为有界区间 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\} \text {. } $$ 对任意的 $\displaystyle f \in C[a, b]$ ，另 $\displaystyle T(f)=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ． （1）证明：对任意的 $\displaystyle f, g \in C[a, b]$ ，有 $\displaystyle T(f+g) \leq T(f)+T(g)$ ． （2）设 $\displaystyle C[a, b]$ 中的函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 满足：对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle N>0$ 使得 $\displaystyle m, n>N$ 时，有 $\displaystyle T\left(f_{m}-f_{n}\right)<\varepsilon$ ．证明：存在 $\displaystyle f \in C[a, b]$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} T\left(f-f_{n}\right)=0$ ．

三．（15分）设函数 $f$ 在有界区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续． （1）证明：函数 $f$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界； （2）试问上述结论对无界区间是否成立？并说明理由．

二．（10 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二阶可导且 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ ，若 $\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ ，且当 $\displaystyle x>a$ 时，有 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ．证明：在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内，方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有唯一解．

五．（15 分）设函数 $\displaystyle f_{0}$ 在有界区间 $\displaystyle [0, a]$ 上可积，定义函数列 $$ f_{n}(x)=\int_{0}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[0, a](n=1,2, \cdots) $$ 证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致收敛．

八．（15 分）设 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x, 0 \leq \alpha \leq b<+\infty$ ．证明： （1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收敛； （2）试问 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (0, b)$ 上是否一致收敛，并说明理由．

四．（15 分）设函数 $f$ 在有界区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $$ \ln \left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right) \geq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \ln f(x) \mathrm{d} x $$

2．已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{n}=a b $$

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上二阶连续可导且 $\displaystyle M_{0}=\sup \{|f(x)| x \in(0,+\infty)\}$ 以及 $$ M_{1}=\sup \left\{\left|f^{\prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}, M_{2}=\sup \left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\} $$ 均为有限数，证明：$\displaystyle M_{1} \leq 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}$ ．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)=f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 单调递减，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

7．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在有界区间上一致连续的充分必要条件是当 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是 $I$ 上的任意柯西数列时，$\displaystyle \left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西数列．

8．设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n+1}-b_{n}\right)$ 绝对收敛。 （1）叙述阿贝尔变换，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 的部分和； （2）证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛； （3）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫。

2、已知 $\varphi(t)=\int_{0}^{1} \ln \left(\sqrt{x^{2}+t^{2}}\right) \mathrm{d} x,(0 \leq t \leq 1)$ ，求 $\varphi(t)$ 在 $t=0$ 处的单侧导数．

3、计算 $J=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

4、求全微分 $(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ 的原函数 $u(x, y, z)$ ．

5、计算第二型曲面积分 $I=\iint_{S} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} =1(a, b, c>0)$ 的上半部分，并取外侧．

八、（20 分）设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ ，其中 $\displaystyle a_{n}$ 均为实数，证明： （1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收玫，则对任意的 $\displaystyle x>\lambda$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收玫． （2）存在实数 $r$ ，使得当 $\displaystyle x>r$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收玫；当 $\displaystyle x<r$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散．

六、（10分）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对 $\displaystyle \forall[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，有 $$ \left|\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq M|\beta-\alpha|^{1+\delta} $$ 其中 $\displaystyle M, \delta$ 为正常数，求证：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．

七．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上分别一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ，且存在正数列 $\displaystyle \left\{M_{n}\right\}$ ，使得当 $\displaystyle x \in I, n=1,2, \cdots$ 时，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M_{n},\left|g_{n}(x)\right| \leq M_{n}$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛．

三．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f^{\prime}(x)$ 均存在．证明： （1）$\displaystyle f(a+0)$ 和 $\displaystyle f(b-0)$ 都存在． （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且一致连续．

二．解答如下问题： （1）设 $L$ 为常数，$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是严格递增的正无穷大数列，且与数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 一起满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=L$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=L$ ． （2）设 $\displaystyle a_{1}=\sin a>0, a_{n+1}=\sin a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n a_{n}^{2}}=\frac{1}{3}$ ．

五．设 $\displaystyle f(x)$ 为有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的函数，且对任意的 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ．证明： （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上至多存在有限个点 $x$ ，使得 $\displaystyle |f(x)| \geq \varepsilon$ ． （3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．

十．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界且连续，若对任意的 $\displaystyle c \in \mathbb{R}$ ，函数 $\displaystyle f(x)-c$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上至多有有限个零点，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I=(0,+\infty)$ 上可导，且对任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in I$ 以及 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2} \in(0,1)$ ，有 $$ f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right) \leq \lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right) . $$ 其中 $\displaystyle \lambda_{1}+\lambda_{2}=1$ ．假设 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，有 $\displaystyle f(x)=x^{2}+x^{2} \varepsilon(x)$ ，其中 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varepsilon(x)=0$ ．证明： （1）对任意的 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ ，有 $\displaystyle \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \leq f^{\prime}(x) \leq \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, 0<h<\frac{x}{2}$ ． （2）对任意的 $\displaystyle \eta>0$ ，当 $x$ 充分大时，有 $\displaystyle 2 x-h-\frac{\eta}{h} x^{2} \leq f^{\prime}(x) \leq 2 x+h+\frac{\eta}{h} x^{2}, 0<h<\frac{x}{2}$ ．

一．（15 分）解答题． （1）证明：$\displaystyle \left|e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right|<\frac{3}{n}, n \in \mathbb{N}^{+}$． （2）设非负数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+m} \leq a_{n}+a_{m}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=\inf \left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ ． （3）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} e^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．

七．（15 分）设 $f$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的凸函数，$\displaystyle \varphi$ 为闭区间 $E$ 上的连续函数，证明： $$ f\left(\frac{1}{\mu(E)} \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x\right) \leq \frac{1}{\mu(E)} \int_{E} f \circ \varphi(x) \mathrm{d} x $$ 其中 $\displaystyle \mu(E)$ 为 $E$ 的长度．（可能有误）

三．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)| $$

九．（15 分）计算曲线积分 $$ I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z $$ 其中 $L$ 是 $\displaystyle [0, a] \times[0, a] \times[0, a]$ 的表面与平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，从上往下看取逆时针方向．十．（15 分）证明：光滑曲线 $\displaystyle y=f(x)(f(x)>0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面面积为 $$ S=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} \mathrm{~d} x $$

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，证明以下条件等价： （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续． （2）$\displaystyle f(x)$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处极限存在． （3）$\displaystyle f(x)$ 可延拓成 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数．

八．（15 分）设 $\displaystyle I=\iiint_{V}(x+y-z+10) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 3$ ，证明： $$ 28 \sqrt{3} \pi \leq I \leq 52 \sqrt{3} \pi \text {.(可能有误) } $$

六．（15 分）估计 $\displaystyle \ln 2$ 的近似值，精确到 0.0001 ．

2、用闭区间套定理证明 $\displaystyle [0,1]$ 是不可数集．

3、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x) f(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x $$

9、若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调且收敛于 0 ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (n x)$ 在 $\displaystyle [a, 2 \pi-a] (0<a<\pi)$ 上一致收敛。

2．设 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $x_{n}=\sin x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}^{2}$ ．

3．设 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．

5．求 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 被柱面 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 x y$ 所截下的面积．

6．设 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 存在连续的偏导数，且对任意以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ 为圆心以 $\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周 $\displaystyle L: x=x_{0}+r \cos \theta, y=y_{0}+r \sin \theta, \theta \in[0, \pi]$ ，都有 $$ \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0 $$ 证明 $\displaystyle P(x, y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x, y) \equiv 0$ ．

8．已知 $\displaystyle F_{n}=\int_{a}^{\pi}\left(\frac{\sin \frac{x-a}{2}}{\sin \frac{x+a}{2}}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle 0<a<\pi$ ，证明： $$ F_{n}=\frac{2 \sin a}{n-1} F_{n-1}-F_{n-2} $$

9．证明： $$ \iint_{D} f(m \sin \theta \cos \varphi+n \sin \theta \sin \varphi+p \cos \theta) \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{~d} \varphi=2 \pi \int_{0}^{1} f\left(u \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}\right) \mathrm{d} u $$ 其中 $\displaystyle D: \theta \in[0, \pi], \varphi \in[0,2 \pi]$ ．