上海大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．计算下列矩阵的 Jordan 标准型
$$
\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
-4 & 4 & 0 \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{lll}
3 & -1 & 0 \\
6 & -3 & 2 \\
8 & -6 & 5
\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{ccc}
4 & -5 & 7 \\
1 & -4 & 9 \\
-4 & 0 & 5
\end{array}\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求矩阵1的特征值
计算矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -4 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ 4 & \lambda-4 & 0 \\ 2 & -1 & \lambda-2 \end{pmatrix} = (\lambda-2) \det\begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ 4 & \lambda-4 \end{pmatrix} = (\lambda-2)(\lambda(\lambda-4)+4) = (\lambda-2)(\lambda^2-4\lambda+4) = (\lambda-2)^3$。特征值 $\lambda=2$，代数重数为3。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)^3$
提示：注意行列式计算时，利用分块矩阵或按行展开简化计算。
步骤 2/8
目标：求矩阵1的几何重数
计算 $A-2I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，秩为1（因为第二行是第一行的2倍，第三行等于第一行）。几何重数 $= 3 - \text{rank}(A-2I) = 3-1 = 2$。
公式：几何重数 = $\dim\ker(A-\lambda I) = n - \text{rank}(A-\lambda I)$
提示：计算矩阵的秩时，注意行简化或观察行之间的线性关系。
步骤 3/8
目标：确定矩阵1的Jordan标准型
代数重数3，几何重数2，所以Jordan块数为2，且有一个2阶Jordan块和一个1阶Jordan块。由于 $(A-2I)^2 = 0$（验证：$(A-2I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$），所以Jordan链长度为2。因此Jordan标准型为 $J_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：Jordan标准型由特征值和Jordan块结构决定
提示：注意Jordan块中1的位置在上次对角线，且每个特征值对应的Jordan块个数等于几何重数。
步骤 4/8
目标：求矩阵2的特征值
计算矩阵 $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 6 & -3 & 2 \\ 8 & -6 & 5 \end{pmatrix}$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - B) = \det\begin{pmatrix} \lambda-3 & 1 & 0 \\ -6 & \lambda+3 & -2 \\ -8 & 6 & \lambda-5 \end{pmatrix}$。按第一行展开或通过行变换计算得 $\det(\lambda I - B) = (\lambda-1)(\lambda-2)^2$。特征值 $\lambda=1$（单根），$\lambda=2$（二重根）。
公式：$\det(\lambda I - B) = (\lambda-1)(\lambda-2)^2$
提示：计算特征多项式时，可以尝试先进行行变换简化矩阵。
步骤 5/8
目标：求矩阵2中特征值2的几何重数
计算 $B-2I = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 6 & -5 & 2 \\ 8 & -6 & 3 \end{pmatrix}$，秩为2（例如，第一行与第二行线性无关，第三行可由前两行线性表示？实际上，行简化后秩为2）。几何重数 $= 3 - \text{rank}(B-2I) = 3-2 = 1$。
公式：几何重数 = $\dim\ker(B-\lambda I) = n - \text{rank}(B-\lambda I)$
提示：注意检查矩阵的秩，避免计算错误。
步骤 6/8
目标：确定矩阵2的Jordan标准型
特征值1是单根，对应1阶Jordan块。特征值2代数重数2，几何重数1，所以有一个2阶Jordan块。因此Jordan标准型为 $J_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：Jordan标准型由特征值和几何重数决定
提示：注意单根特征值对应的Jordan块就是1×1的。
步骤 7/8
目标：求矩阵3的特征值
计算矩阵 $C = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 7 \\ 1 & -4 & 9 \\ -4 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - C) = \det\begin{pmatrix} \lambda-4 & 5 & -7 \\ -1 & \lambda+4 & -9 \\ 4 & 0 & \lambda-5 \end{pmatrix}$。通过行变换或直接展开计算得 $\det(\lambda I - C) = (\lambda-3)^3$。特征值 $\lambda=3$，代数重数3。
公式：$\det(\lambda I - C) = (\lambda-3)^3$
提示：计算时注意符号，避免错误。
步骤 8/8
目标：求矩阵3的几何重数并确定Jordan标准型
计算 $C-3I = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 7 \\ 1 & -7 & 9 \\ -4 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，秩为2（例如，第一行和第二行线性无关，第三行可由前两行线性表示？实际上，行简化后秩为2）。几何重数 $= 3-2 = 1$。代数重数3，几何重数1，所以只有一个3阶Jordan块。Jordan标准型为 $J_3 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：Jordan标准型：若几何重数为1，则只有一个Jordan块，阶数为代数重数
提示：注意验证 $(C-3I)^2$ 是否为零矩阵，以确认Jordan链长度。
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