上海大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．$A$ 是六阶复方阵
$$
A=\left(\begin{array}{llllll}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$
求（1）$\displaystyle A^{2026}$
（2）求矩阵 $\displaystyle A^{2}+2 A+I$ 的特征值
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别矩阵A的结构
矩阵$A$是六阶循环移位矩阵，对应循环置换$(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$，即$A$将基向量$e_1$映射到$e_2$，$e_2$到$e_3$，...，$e_6$到$e_1$。因此$A$是置换矩阵，且$A^6=I$。
公式：A^6 = I
提示：注意循环移位矩阵的幂次规律：$A^k$将$e_i$映射到$e_{i+k}$（指标模6）。
步骤 2/7
目标：计算指数2026模6的余数
计算$2026 \div 6$：$2026 = 6 \times 337 + 4$，余数为4。因此$A^{2026} = A^{6 \times 337 + 4} = (A^6)^{337} A^4 = I^{337} A^4 = A^4$。
公式：A^{2026} = A^4
提示：注意$A^6=I$，所以指数模6即可。
步骤 3/7
目标：写出A^4的矩阵形式
由于$A^4$将$e_i$映射到$e_{i+4}$（模6），即$e_1 \to e_5$，$e_2 \to e_6$，$e_3 \to e_1$，$e_4 \to e_2$，$e_5 \to e_3$，$e_6 \to e_4$。因此矩阵为：
$$
A^4 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意循环移位矩阵的幂次：$A^k$的第$i$行第$j$列元素为1当且仅当$j \equiv i+k \pmod{6}$（约定$e_7=e_1$等）。
步骤 4/7
目标：求A的特征值
$A$是循环矩阵，其特征值为$\omega^k$，其中$\omega = e^{2\pi i/6} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$，$k=0,1,\dots,5$。即特征值为$1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5$。
公式：\lambda_k = \omega^k, \quad \omega = e^{2\pi i/6}
提示：循环矩阵的特征值由离散傅里叶变换给出，注意$\omega^3=-1$。
步骤 5/7
目标：利用多项式求f(A)的特征值
设$f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2$，则$f(A)=A^2+2A+I$的特征值为$f(\lambda)=(\lambda+1)^2$，其中$\lambda$取遍$A$的特征值。
公式：f(\lambda) = (\lambda+1)^2
提示：多项式函数作用于矩阵时，特征值对应变换。
步骤 6/7
目标：计算每个特征值对应的f(λ)
计算如下：
- $\lambda=1$：$(1+1)^2=4$。
- $\lambda=\omega$：$(\omega+1)^2$。由于$\omega=e^{i\pi/3}$，$\omega+1=2\cos(\pi/6)e^{i\pi/6}=\sqrt{3}e^{i\pi/6}$，平方得$3e^{i\pi/3}=3\omega$。
- $\lambda=\omega^2$：$(\omega^2+1)^2$。$\omega^2=e^{i2\pi/3}$，$\omega^2+1=2\cos(\pi/3)e^{i\pi/3}=e^{i\pi/3}$，平方得$e^{i2\pi/3}=\omega^2$。
- $\lambda=\omega^3=-1$：$(-1+1)^2=0$。
- $\lambda=\omega^4=\overline{\omega^2}$：$(\omega^4+1)^2=\overline{(\omega^2+1)^2}=\overline{\omega^2}=\omega^4$。
- $\lambda=\omega^5=\overline{\omega}$：$(\omega^5+1)^2=\overline{(\omega+1)^2}=\overline{3\omega}=3\omega^5$。
提示：注意共轭性质：若$\lambda$是特征值，则$\overline{\lambda}$也是特征值，且$f(\overline{\lambda})=\overline{f(\lambda)}$。
步骤 7/7
目标：整理特征值结果
因此$A^2+2A+I$的特征值为$4,\ 3\omega,\ \omega^2,\ 0,\ \omega^4,\ 3\omega^5$，其中$\omega=e^{i\pi/3}$。
提示：特征值顺序不重要，但需注意$\omega^4=\overline{\omega^2}$，$\omega^5=\overline{\omega}$。
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