上海理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．求 $E-B A$ 的逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题与已知条件
已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则 $E-BA$ 是 $n \times n$ 矩阵。题目要求当 $E-AB$ 可逆时，求 $(E-BA)^{-1}$。
提示：注意矩阵维度：$E$ 是单位矩阵，其阶数由上下文决定，$E-BA$ 中的 $E$ 是 $n \times n$，$E-AB$ 中的 $E$ 是 $m \times m$。
步骤 2/7
目标：猜测逆矩阵形式
根据已知结论，猜测 $(E-BA)^{-1} = E + B(E-AB)^{-1}A$。这是一个常见的矩阵恒等式，类似于Woodbury矩阵恒等式。
提示：这种形式可以通过类比标量情况 $(1-ba)^{-1} = 1 + b(1-ab)^{-1}a$ 得到，但注意矩阵乘法顺序不可交换。
步骤 3/7
目标：验证左侧乘积
计算 $(E-BA)[E + B(E-AB)^{-1}A]$：
\[
(E-BA)[E + B(E-AB)^{-1}A] = (E-BA)E + (E-BA)B(E-AB)^{-1}A = E - BA + B(E-AB)^{-1}A - BAB(E-AB)^{-1}A.
\]
公式：矩阵乘法分配律
提示：注意 $(E-BA)B = B - BAB$，因为 $E B = B$，$BA B = B(AB)$。
步骤 4/7
目标：化简 $BAB(E-AB)^{-1}A$
由于 $BAB = B(AB)$，且 $(E-AB)^{-1}$ 与 $AB$ 可交换（因为 $(E-AB)^{-1}$ 是 $AB$ 的多项式），所以
\[
BAB(E-AB)^{-1}A = B(AB)(E-AB)^{-1}A = B(E-AB)^{-1}(AB)A.
\]
但更直接地，利用恒等式 $(E-AB)^{-1} = E + AB(E-AB)^{-1}$ 或直接变形：
\[
BAB(E-AB)^{-1}A = B[(E-AB)^{-1} - E]A = B(E-AB)^{-1}A - BA.
\]
公式：$(E-AB)^{-1} = E + AB(E-AB)^{-1}$ 或 $(E-AB)^{-1}AB = AB(E-AB)^{-1}$
提示：关键步骤：利用 $(E-AB)^{-1}AB = AB(E-AB)^{-1}$ 交换顺序，但注意 $B$ 在左边，$A$ 在右边，不能直接交换 $B$ 和 $(E-AB)^{-1}$。正确做法是 $BAB = B(AB)$，然后利用 $(AB)(E-AB)^{-1} = (E-AB)^{-1}(AB)$。
步骤 5/7
目标：代入化简结果
将化简后的 $BAB(E-AB)^{-1}A = B(E-AB)^{-1}A - BA$ 代入原式：
\[
E - BA + B(E-AB)^{-1}A - [B(E-AB)^{-1}A - BA] = E - BA + B(E-AB)^{-1}A - B(E-AB)^{-1}A + BA = E.
\]
提示：注意符号：减去一个括号要变号，$-[B(E-AB)^{-1}A - BA] = -B(E-AB)^{-1}A + BA$。
步骤 6/7
目标：验证右侧乘积
类似地，计算 $[E + B(E-AB)^{-1}A](E-BA)$：
\[
[E + B(E-AB)^{-1}A](E-BA) = E - BA + B(E-AB)^{-1}A - B(E-AB)^{-1}ABA.
\]
利用 $B(E-AB)^{-1}ABA = B[(E-AB)^{-1}AB]A = B[(E-AB)^{-1} - E]A = B(E-AB)^{-1}A - BA$，代入得 $E$。
公式：同上
提示：注意乘法顺序：$B(E-AB)^{-1}A$ 乘以 $BA$ 时，$A$ 与 $B$ 结合成 $AB$，再与 $(E-AB)^{-1}$ 交换。
步骤 7/7
目标：得出结论
由左右两侧乘积均为单位矩阵，可知 $(E-BA)^{-1} = E + B(E-AB)^{-1}A$，前提是 $E-AB$ 可逆。
公式：$(E-BA)^{-1} = E + B(E-AB)^{-1}A$
提示：该结论成立的条件是 $E-AB$ 可逆，此时 $E-BA$ 必可逆。反之亦然。
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