上海理工大学 2024年高等代数第0题

要证明 $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的子空间，首先需要明确子空间的定义：设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间，$U \subseteq V$ 是非空子集，若 $U$ 对加法封闭且对数乘封闭，则 $U$ 是 $V$ 的子空间。即： 1. $0 \in U$（非空）； 2. 对任意 $u, v \in U$，有 $u+v \in U$； 3. 对任意 $u \in U$ 和 $\lambda \in \mathbb{F}$，有 $\lambda u \in U$。

由于题目未给出 $U$ 和 $W$ 的具体定义，我们假设它们是由某些条件定义的子集。通常，我们需要验证零向量 $0$ 属于 $U$ 和 $W$。例如，若 $U = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y=0 \}$，则 $0=(0,0)$ 满足 $0+0=0$，故 $0 \in U$。

任取 $u, v \in U$，需要证明 $u+v \in U$。以 $U = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y=0 \}$ 为例，设 $u=(x_1,y_1)$，$v=(x_2,y_2)$，满足 $x_1+y_1=0$，$x_2+y_2=0$。则 $u+v=(x_1+x_2, y_1+y_2)$，且 $(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0+0=0$，故 $u+v \in U$。

任取 $u \in U$ 和标量 $\lambda \in \mathbb{F}$，需要证明 $\lambda u \in U$。仍以 $U = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y=0 \}$ 为例，设 $u=(x,y)$ 满足 $x+y=0$，则 $\lambda u = (\lambda x, \lambda y)$，且 $\lambda x + \lambda y = \lambda (x+y) = \lambda \cdot 0 = 0$，故 $\lambda u \in U$。

综上所述，若 $U$ 和 $W$ 满足上述三个条件（非空、加法封闭、数乘封闭），则它们是 $V$ 的子空间。由于题目未给出具体定义，请补充 $U$ 和 $W$ 的描述后，按照上述步骤进行验证。