上海理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．证明：$V=U \oplus W$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确直和的定义
要证明 $V = U \oplus W$，根据直和的定义，需要证明两个条件：$V = U + W$ 且 $U \cap W = \{0\}$。
提示：直和的定义是证明的基础，务必牢记两个条件缺一不可。
步骤 2/5
目标：证明 $U \cap W = \{0\}$
设 $x \in U \cap W$，则 $x \in U$ 且 $x \in W$。由于 $U$ 和 $W$ 是子空间，$0 \in U \cap W$。若存在非零 $x$，则 $x$ 可表示为 $x = x + 0 = 0 + x$，这与向量表示的唯一性矛盾（因为直和要求唯一表示）。因此 $U \cap W = \{0\}$。
提示：注意唯一性假设是直和的性质，若题目未明确给出，需先证明唯一性。
步骤 3/5
目标：证明 $V = U + W$（包含关系 $V \subseteq U + W$）
任取 $v \in V$，由直和的定义（或题目条件），存在唯一的 $u \in U$ 和 $w \in W$ 使得 $v = u + w$。因此 $v \in U + W$，即 $V \subseteq U + W$。
提示：注意这里需要题目已给出或已证明任意向量可表示为 $U$ 和 $W$ 中元素的和。
步骤 4/5
目标：证明 $V = U + W$（包含关系 $U + W \subseteq V$）
由于 $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的子空间，对任意 $u \in U$ 和 $w \in W$，有 $u + w \in V$（因为子空间对加法封闭）。因此 $U + W \subseteq V$。
提示：子空间对加法封闭是基本性质，但需注意 $U+W$ 是集合，不一定等于 $V$。
步骤 5/5
目标：综合结论
由步骤2得 $U \cap W = \{0\}$，由步骤3和4得 $V = U + W$。根据直和的定义，$V = U \oplus W$。
提示：最终结论需明确写出直和符号 $\oplus$。
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