上海理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六、已知 $V$ 是数域 $P$ 上由对称矩阵的加法和数乘构成的线性空间，且 $\displaystyle U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{\lambda E \mid \lambda \in P\}$
1．证明 $\displaystyle U, W$ 为 $V$ 上的子空间．
2．求 $U$ 和 $W$ 的基和维数．
3．证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明U是V的子空间
首先，$U$ 非空，因为零矩阵的迹为0，所以 $0 \in U$。其次，加法封闭：任取 $A,B \in U$，则 $\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)=0+0=0$，故 $A+B \in U$。最后，数乘封闭：任取 $A \in U$，$k \in P$，则 $\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}(A)=0$，故 $kA \in U$。因此 $U$ 是 $V$ 的子空间。
公式：\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}(A)
提示：注意验证子空间的三条：非空、加法封闭、数乘封闭。
步骤 2/8
目标：证明W是V的子空间
首先，$W$ 非空，因为 $0E=0 \in W$。其次，加法封闭：任取 $\lambda E, \mu E \in W$，则 $\lambda E+\mu E=(\lambda+\mu)E \in W$。最后，数乘封闭：任取 $\lambda E \in W$，$k \in P$，则 $k(\lambda E)=(k\lambda)E \in W$。因此 $W$ 是 $V$ 的子空间。
提示：标量矩阵的加法和数乘仍是标量矩阵。
步骤 3/8
目标：求W的基和维数
$W$ 由所有标量矩阵 $\lambda E$ 构成，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。$W$ 中任意非零矩阵可表示为 $\lambda E$，且 $\lambda E$ 与 $E$ 线性相关，因此 $W$ 的一组基为 $\{E\}$，维数为1。
提示：注意标量矩阵只有1个自由度。
步骤 4/8
目标：求U的维数
考虑线性映射 $\operatorname{tr}: V \to P$，则 $U = \ker \operatorname{tr}$。由于 $\operatorname{tr}$ 非零，其秩为1，故 $\dim U = \dim V - 1$。而 $V$ 是 $n$ 阶对称矩阵空间，维数 $\dim V = \frac{n(n+1)}{2}$，因此 $\dim U = \frac{n(n+1)}{2} - 1$。
公式：\dim \ker \operatorname{tr} = \dim V - \operatorname{rank} \operatorname{tr}
提示：利用线性映射的维数公式，注意 $\operatorname{tr}$ 是满射。
步骤 5/8
目标：构造U的一组基
取 $V$ 的标准基：对 $i
提示：注意对角基的选取要保证迹为零且线性无关。
步骤 6/8
目标：证明V=U+W
任取 $A \in V$，令 $\lambda = \frac{\operatorname{tr}(A)}{n}$，则 $\operatorname{tr}(A-\lambda E) = \operatorname{tr}(A) - n\lambda = 0$，故 $A-\lambda E \in U$，且 $\lambda E \in W$，所以 $A = (A-\lambda E) + \lambda E \in U+W$。因此 $V \subseteq U+W$，又 $U+W \subseteq V$，故 $V = U+W$。
公式：\lambda = \frac{\operatorname{tr}(A)}{n}
提示：注意 $\lambda$ 的选取要使得 $A-\lambda E$ 迹为零。
步骤 7/8
目标：证明U∩W={0}
若 $A \in U \cap W$，则 $A = \lambda E$ 且 $\operatorname{tr}(A)=0$，即 $n\lambda=0$，故 $\lambda=0$，所以 $A=0$。因此 $U \cap W = \{0\}$。
提示：注意标量矩阵的迹为 $n\lambda$。
步骤 8/8
目标：总结直和结论
由 $V = U+W$ 和 $U \cap W = \{0\}$ 知 $V = U \oplus W$。
提示：直和需要和与交均为零。
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