上海理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．求 $A$ 的特征值及对应的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出特征多项式
设矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，特征多项式定义为 $f(\lambda)=\det(\lambda I - A)$。计算行列式得到关于 $\lambda$ 的多项式。
公式：$f(\lambda)=\det(\lambda I - A)$
提示：注意是 $\lambda I - A$ 而不是 $A - \lambda I$，虽然两者只差一个符号，但特征多项式通常定义为 $\det(\lambda I - A)$。
步骤 2/6
目标：求解特征方程
令特征多项式等于零：$f(\lambda)=0$，解这个方程得到特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（可能有重根）。
公式：$f(\lambda)=0$
提示：特征方程是 $n$ 次方程，可能有重根，注意复数根也可能出现。
步骤 3/6
目标：对每个特征值求特征向量
对于每个特征值 $\lambda_i$，解齐次线性方程组 $(\lambda_i I - A)\mathbf{x}=0$，其非零解即为属于 $\lambda_i$ 的特征向量。
公式：$(\lambda_i I - A)\mathbf{x}=0$
提示：特征向量必须是非零向量，解方程组时注意自由变量的选取。
步骤 4/6
目标：求解齐次方程组
将矩阵 $\lambda_i I - A$ 化为行最简形，得到基础解系。基础解系中的每个向量都是特征向量，且线性无关。
提示：行最简形可能有多行全零，自由变量的个数等于 $n - \text{rank}(\lambda_i I - A)$。
步骤 5/6
目标：写出特征向量
基础解系中的向量即为特征向量，通常表示为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots$。注意特征向量可以乘以任意非零常数。
提示：特征向量不唯一，但基础解系是线性无关的。
步骤 6/6
目标：检查重根情况
如果特征值是重根，需要检查其几何重数（即特征空间的维数）是否等于代数重数。若小于，则矩阵不可对角化。
提示：几何重数等于 $n - \text{rank}(\lambda_i I - A)$，代数重数是特征多项式中根的重数。
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