上海理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四、二次型 $\displaystyle f(x)=X^{\prime} A X$ 的矩阵 $A$ 的 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=3$ ，且满足
$$
A\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 2 \\
2 & 2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & -4 \\
2 & -4
\end{array}\right]
$$
1．求 $A$ 的特征值及对应的特征向量．
2．写出 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式．
3．求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用已知条件建立方程
设 $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & -4 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$，由 $AB = C$ 得 $A$ 在 $B$ 的列向量上的作用：$A\alpha_1 = \alpha_1$，$A\alpha_2 = -2\alpha_2$，其中 $\alpha_1 = (2,-1,2)^T$，$\alpha_2 = (1,2,2)^T$。
公式：AB = C
提示：注意 $B$ 的列向量线性无关，因此可以唯一确定 $A$ 在这些向量上的作用。
步骤 2/7
目标：确定特征值和部分特征向量
由 $A\alpha_1 = \alpha_1$ 知 $\lambda_1=1$，对应特征向量 $\alpha_1$；由 $A\alpha_2 = -2\alpha_2$ 知 $\lambda_2=-2$，对应特征向量 $\alpha_2$。利用 $\operatorname{tr}(A)=3$ 得 $1+(-2)+\lambda_3=3$，解得 $\lambda_3=4$。
公式：\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i
提示：迹等于特征值之和，注意实对称矩阵特征值均为实数。
步骤 3/7
目标：求第三个特征向量
由于 $A$ 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交。设 $\alpha_3=(x,y,z)^T$，则 $\alpha_3 \perp \alpha_1$ 且 $\alpha_3 \perp \alpha_2$，得方程组 $\begin{cases} 2x - y + 2z = 0 \\ x + 2y + 2z = 0 \end{cases}$，解得 $x=-2z, y=0$，取 $z=1$ 得 $\alpha_3=(-2,0,1)^T$。
公式：\alpha_i \cdot \alpha_j = 0 \ (i \neq j)
提示：解齐次线性方程组时注意自由变量的选取。
步骤 4/7
目标：求二次型矩阵 $A$
设 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}$，由 $A\alpha_1 = \alpha_1$，$A\alpha_2 = -2\alpha_2$，$A\alpha_3 = 4\alpha_3$ 列出9个方程，解得 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}$。
公式：A\alpha_i = \lambda_i \alpha_i
提示：利用对称性减少未知数，注意解方程时检查一致性。
步骤 5/7
目标：写出二次型表达式
由 $A$ 得 $f(x) = X^T A X = x_1^2 - 2x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_3$。
公式：f(x) = \sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j
提示：注意交叉项系数 $a_{ij}$ 要乘以2。
步骤 6/7
目标：单位化特征向量构造正交矩阵
将特征向量单位化：$\beta_1 = \frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|} = \frac{1}{3}(2,-1,2)^T$，$\beta_2 = \frac{\alpha_2}{\|\alpha_2\|} = \frac{1}{3}(1,2,2)^T$，$\beta_3 = \frac{\alpha_3}{\|\alpha_3\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1)^T$。取 $Q = [\beta_1, \beta_2, \beta_3]$，则 $Q$ 为正交矩阵。
公式：\beta_i = \frac{\alpha_i}{\|\alpha_i\|}
提示：注意单位化时不要忘记分母，且 $Q$ 的列顺序应与特征值对应。
步骤 7/7
目标：写出正交变换和标准型
正交变换 $X=QY$ 下，$f = Y^T Q^T A Q Y = Y^T \operatorname{diag}(1,-2,4) Y = y_1^2 - 2y_2^2 + 4y_3^2$。
公式：Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)
提示：正交变换保持向量长度，标准型系数即为特征值。
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