东北大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1．计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 2 & & & \\
-2 & 2 & 2 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & -2 & 2 & 2 \\
& & & -2 & 2
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：按第一行展开行列式
设 $D_n$ 为 $n$ 阶行列式。按第一行展开：
$$D_n = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 & & \\ -2 & 2 & 2 & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -2 & 2 \end{vmatrix}_{(n-1)} + (-1)^{1+2} \cdot 2 \begin{vmatrix} -2 & 2 & & \\ & -2 & 2 & \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & -2 \end{vmatrix}_{(n-1)}.$$
公式：行列式按行展开公式
提示：注意符号：第一行第二列元素的代数余子式符号为 $(-1)^{1+2}=-1$。
步骤 2/7
目标：识别子行列式
第一个子行列式是 $D_{n-1}$，第二个子行列式是下三角行列式，其值为对角线上元素的乘积：$(-2)^{n-1}$。因此：
$$D_n = 2 D_{n-1} - 2 \cdot (-2)^{n-1} = 2 D_{n-1} - 2^n (-1)^{n-1}.$$
公式：下三角行列式值等于对角线元素乘积
提示：注意 $(-2)^{n-1} = (-1)^{n-1} 2^{n-1}$，乘以2得 $2^n (-1)^{n-1}$。
步骤 3/7
目标：建立递推关系
得到递推关系：
$$D_n = 2 D_{n-1} - 2^n (-1)^{n-1}.$$
初始值：$D_1 = 2$。
提示：验证 $n=1$ 时行列式就是 $2$。
步骤 4/7
目标：化简递推式
两边除以 $2^n$：
$$\frac{D_n}{2^n} = \frac{D_{n-1}}{2^{n-1}} - (-1)^{n-1}.$$
令 $a_n = \frac{D_n}{2^n}$，则 $a_n = a_{n-1} - (-1)^{n-1}$，且 $a_1 = \frac{2}{2}=1$。
提示：注意 $(-1)^{n-1}$ 的指数变化。
步骤 5/7
目标：累加求解通项
累加：
$$a_n = a_1 - \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k} = 1 - \frac{(-1)^{n} - (-1)^1}{1 - (-1)} = 1 - \frac{(-1)^n + 1}{2} = \frac{1 - (-1)^n}{2}.$$
公式：等比数列求和公式：$\sum_{k=0}^{m} r^k = \frac{1-r^{m+1}}{1-r}$
提示：注意求和从 $k=1$ 到 $n-1$，公比 $r=-1$。
步骤 6/7
目标：回代得到 $D_n$
由 $a_n = \frac{D_n}{2^n}$ 得：
$$D_n = 2^n a_n = 2^n \cdot \frac{1 - (-1)^n}{2} = 2^{n-1} (1 - (-1)^n).$$
提示：注意 $2^n$ 与分母2约分。
步骤 7/7
目标：讨论奇偶性
当 $n$ 为奇数时，$1 - (-1)^n = 1 - (-1) = 2$，$D_n = 2^{n-1} \cdot 2 = 2^n$；
当 $n$ 为偶数时，$1 - (-1)^n = 1 - 1 = 0$，$D_n = 0$。
因此：
$$D_n = \begin{cases} 2^n, & n \text{为奇数}, \\ 0, & n \text{为偶数}. \end{cases}$$
提示：注意区分奇偶性，避免计算错误。
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