东北大学 2025年高等代数第0题

3．设 $\mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的一个线性变换，满足 $$ \begin{gathered} \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=-3 \varepsilon_{1}-a \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+15 \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=\varepsilon_{1}-b \varepsilon_{2}+30 \varepsilon_{3} \\ \mathscr{A}\left(\eta_{1}\right)=6 \eta_{1}, \mathscr{A}\left(\eta_{2}\right)=12 \eta_{2}, \mathscr{A}\left(\eta_{3}\right)=c \eta_{3} \end{gathered} $$ 其中 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 分别是 $V$ 的两组基． （1）求参数 $a, b, c$ 的值． （2）求基 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 到 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 的过渡矩阵。