东北大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
6．已知实二次型 $f=a x_{1}^{2}+8 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 的符号差为 2 ．
（1）求 $a$ 的值．
（2）用正交线性替换的方法化二次型为标准形，并写出正交线性替换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵并计算行列式
二次型 $f = a x_1^2 + 8 x_2^2 + a x_3^2 - 4 x_1 x_2 - 8 x_1 x_3 - 4 x_2 x_3$ 的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} a & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & a \end{pmatrix}$。计算行列式：
$$\det A = \begin{vmatrix} a & -2 & -4 \\ -2 & 8 & -2 \\ -4 & -2 & a \end{vmatrix} = a(8a-4) - (-2)(-2a-8) + (-4)(4+32) = 8a^2 - 4a - 4a - 16 - 144 = 8a^2 - 8a - 160 = 8(a^2 - a - 20) = 8(a-5)(a+4).$$
公式：$\det A = 8(a-5)(a+4)$
提示：注意矩阵元素：交叉项系数一半，即 $-4x_1x_2$ 对应 $a_{12}=a_{21}=-2$，类似地 $a_{13}=a_{31}=-4$，$a_{23}=a_{32}=-2$。
步骤 2/7
目标：利用符号差条件确定a的值
符号差为2，即正惯性指数 $p$ 与负惯性指数 $q$ 满足 $p-q=2$。由于秩 $r = p+q$，若 $r=3$，则 $p=2.5$ 不可能，故 $r<3$，即 $\det A=0$，解得 $a=5$ 或 $a=-4$。
- 当 $a=5$ 时，顺序主子式：$\Delta_1=5>0$，$\Delta_2=\begin{vmatrix}5&-2\\-2&8\end{vmatrix}=36>0$，$\Delta_3=0$，故半正定，$p=2,q=0$，符号差 $2-0=2$，符合。
- 当 $a=-4$ 时，$\Delta_1=-4<0$，$\Delta_2=\begin{vmatrix}-4&-2\\-2&8\end{vmatrix}=-36<0$，$\Delta_3=0$，此时 $p=1,q=1$ 或 $p=0,q=2$？计算特征值：$\lambda_1=0$，另两个异号，故 $p=1,q=1$，符号差 $0$，不符合。因此 $a=5$。
公式：符号差 $= p - q = 2$
提示：注意顺序主子式判定法：半正定要求所有顺序主子式非负，且行列式为0。
步骤 3/7
目标：求特征值
当 $a=5$ 时，$A = \begin{pmatrix}5&-2&-4\\-2&8&-2\\-4&-2&5\end{pmatrix}$。解特征方程 $\det(\lambda I - A)=0$：
$$\begin{vmatrix}\lambda-5 & 2 & 4\\2 & \lambda-8 & 2\\4 & 2 & \lambda-5\end{vmatrix}=0.$$
计算得特征多项式为 $\lambda(\lambda-9)^2=0$，故特征值 $\lambda_1=0$，$\lambda_2=\lambda_3=9$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda(\lambda-9)^2$
提示：计算特征多项式时，可先利用行和或列和简化，例如将第2行乘以-1加到第1行等技巧。
步骤 4/7
目标：求特征向量
对于 $\lambda=0$，解 $(0I-A)x=0$，即 $\begin{pmatrix}-5&2&4\\2&-8&2\\4&2&-5\end{pmatrix}x=0$，得基础解系 $\xi_1=(2,1,2)^T$。
对于 $\lambda=9$，解 $(9I-A)x=0$，即 $\begin{pmatrix}4&2&4\\2&1&2\\4&2&4\end{pmatrix}x=0$，得基础解系 $\xi_2=(-1,2,0)^T$，$\xi_3=(-1,0,1)^T$。
公式：$(\lambda I - A)x = 0$
提示：解齐次方程组时，注意化简矩阵，例如 $\lambda=9$ 时矩阵的秩为1，自由变量个数为2。
步骤 5/7
目标：正交化特征向量
将 $\xi_2,\xi_3$ 正交化：取 $\beta_2 = \xi_2 = (-1,2,0)^T$，计算 $\beta_3 = \xi_3 - \frac{\xi_3^T \beta_2}{\beta_2^T \beta_2} \beta_2 = (-1,0,1)^T - \frac{1}{5}(-1,2,0)^T = \left(-\frac{4}{5}, -\frac{2}{5}, 1\right)^T$。
公式：$\beta_3 = \xi_3 - \frac{\xi_3^T \beta_2}{\beta_2^T \beta_2} \beta_2$
提示：注意 $\xi_2$ 与 $\xi_3$ 不正交，需施密特正交化。
步骤 6/7
目标：单位化特征向量
单位化：
$\eta_1 = \frac{\xi_1}{\|\xi_1\|} = \frac{1}{3}(2,1,2)^T$，
$\eta_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2,0)^T$，
$\eta_3 = \frac{\beta_3}{\|\beta_3\|} = \frac{1}{\sqrt{45/25}}\left(-\frac{4}{5},-\frac{2}{5},1\right)^T = \frac{1}{3\sqrt{5}}(-4,-2,5)^T$。
公式：$\eta = \frac{\beta}{\|\beta\|}$
提示：计算模长时注意分数运算，$\|\beta_3\| = \sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{25}+1} = \sqrt{\frac{45}{25}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$。
步骤 7/7
目标：写出正交线性替换和标准形
正交线性替换为 $x = Qy$，其中 $Q = (\eta_1, \eta_2, \eta_3)$，即
$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{4}{3\sqrt{5}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{5}{3\sqrt{5}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}.$$
标准形为 $f = 0 \cdot y_1^2 + 9 y_2^2 + 9 y_3^2 = 9y_2^2 + 9y_3^2$。
公式：$f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$
提示：注意特征值顺序与特征向量列对应，标准形中 $y_1$ 对应特征值0，$y_2,y_3$ 对应9。
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