东北大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $A$ 是实数域上的 $n \times n$ 矩阵。证明：$A^{2}+A^{T} A=O$ 的充要条件是 $A$ 是实反称矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：引入二次型
假设 $A^2 + A^T A = O$，即 $A^2 = -A^T A$。对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，考虑二次型 $x^T A^2 x$。由于 $A^2 = -A^T A$，有 $x^T A^2 x = -x^T A^T A x = -(Ax)^T (Ax) = -\|Ax\|^2 \leq 0$。
公式：$x^T A^2 x = -\|Ax\|^2$
提示：注意 $x^T A^T A x = \|Ax\|^2$ 是半正定的。
步骤 2/5
目标：必要性：构造对称矩阵 $B = A + A^T$
令 $B = A + A^T$，则 $B$ 是实对称矩阵。计算 $B^2 = (A+A^T)^2 = A^2 + A A^T + A^T A + (A^T)^2$。由 $A^2 = -A^T A$，并对原方程取转置得 $(A^T)^2 = -A A^T$，代入得 $B^2 = -A^T A + A A^T - A A^T + (-A A^T) = -A^T A - A A^T$。
公式：$B^2 = -(A^T A + A A^T)$
提示：注意转置运算：$(A^2)^T = (A^T)^2$，$(A^T A)^T = A^T A$。
步骤 3/5
目标：必要性：利用半正定性推出 $B^2 = O$
由于 $B$ 是实对称矩阵，$B^2$ 是半正定矩阵（特征值为 $B$ 特征值的平方，非负）。另一方面，$A^T A + A A^T$ 是半正定矩阵，因为对任意 $x$，$x^T (A^T A + A A^T) x = \|Ax\|^2 + \|A^T x\|^2 \geq 0$。因此 $B^2 = -(A^T A + A A^T)$ 是半负定矩阵。同时半正定和半负定意味着 $B^2 = O$。
公式：$B^2 = O$
提示：一个矩阵同时半正定和半负定只能是零矩阵。
步骤 4/5
目标：必要性：由 $B^2 = O$ 推出 $B = O$
由于 $B$ 是实对称矩阵，可正交对角化。若 $B^2 = O$，则 $B$ 的特征值全为0，故 $B = O$。因此 $A + A^T = O$，即 $A^T = -A$，所以 $A$ 是实反称矩阵。
公式：$B = O$
提示：实对称矩阵可对角化，且幂零意味着特征值全为零。
步骤 5/5
目标：充分性：验证条件成立
若 $A$ 是实反称矩阵，即 $A^T = -A$，则 $A^T A = (-A) A = -A^2$，所以 $A^2 + A^T A = A^2 - A^2 = O$。
公式：$A^T A = -A^2$
提示：直接代入验证即可。
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