东北大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $A$ 是复数域上的 $n \times n$ 矩阵。证明：
（1）$A$ 与 $A^{T}$ 有相同的特征值．
（2）$A$ 与 $A^{T}$ 的特征子空间的维数相同．
（3）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=A^{T} P$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明特征多项式相同
计算 $A^T$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - A^T) = \det((\lambda I - A)^T) = \det(\lambda I - A)$。因此 $A$ 与 $A^T$ 的特征多项式相同，从而特征值（包括代数重数）相同。
公式：\det(\lambda I - A^T) = \det(\lambda I - A)
提示：注意转置不改变行列式的值，且 $\lambda I$ 是对称矩阵。
步骤 2/5
目标：证明特征子空间维数相同
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda$ 也是 $A^T$ 的特征值。特征子空间维数等于 $n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$。由于 $\operatorname{rank}(A - \lambda I) = \operatorname{rank}((A - \lambda I)^T) = \operatorname{rank}(A^T - \lambda I)$，所以 $\dim V_\lambda(A) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I) = n - \operatorname{rank}(A^T - \lambda I) = \dim V_\lambda(A^T)$。
公式：\dim V_\lambda(A) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)
提示：秩相等是核心，注意特征子空间定义为 $(A-\lambda I)x=0$ 的解空间。
步骤 3/5
目标：引入Jordan标准形
由于 $A$ 是复数域上的矩阵，存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ = J$，其中 $J$ 是 Jordan 标准形。则 $Q^T A^T (Q^{-1})^T = J^T$。
公式：Q^{-1}AQ = J
提示：Jordan标准形存在性依赖于复数域。
步骤 4/5
目标：证明 $J$ 与 $J^T$ 相似
Jordan块 $J_k(\lambda)$ 的转置 $J_k(\lambda)^T$ 与 $J_k(\lambda)$ 相似，因为存在反转矩阵 $R_k$（反对角线上为1）使得 $R_k^{-1} J_k(\lambda) R_k = J_k(\lambda)^T$。将每个块对应的 $R_k$ 组合成块对角矩阵 $R$，则 $R^{-1} J R = J^T$。
公式：R^{-1} J R = J^T
提示：注意反转矩阵 $R_k$ 是正交且对称的，其逆等于自身。
步骤 5/5
目标：构造可逆矩阵 $P$
由 $Q^{-1}AQ = J$ 得 $A = Q J Q^{-1}$，且 $A^T = (Q^{-1})^T J^T Q^T$。代入 $J^T = R^{-1} J R$，得 $A^T = (Q^{-1})^T R^{-1} J R Q^T = (Q^{-1})^T R^{-1} Q^{-1} A Q R Q^T$。令 $P = (Q^{-1})^T R^{-1} Q^{-1}$，则 $P$ 可逆，且 $PA = A^T P$。
公式：P = (Q^{-1})^T R^{-1} Q^{-1}
提示：验证 $P$ 可逆：$Q$ 可逆，$R$ 可逆，故 $P$ 可逆。
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