东北大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明：
（1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ．
（2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ．
（3）$A$ 是可逆矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明 r(E+BA)=r(E+AB)
由于 $B$ 可逆，考虑分块矩阵的初等变换。构造矩阵 $\begin{pmatrix} E & A \\ -B & E \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} E & 0 \\ B & E \end{pmatrix}$，相乘得 $\begin{pmatrix} E+AB & A \\ 0 & E \end{pmatrix}$。类似地，$\begin{pmatrix} E & 0 \\ -B & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & A \\ B & E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & A \\ 0 & E+BA \end{pmatrix}$。由于初等变换不改变秩，有 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} E+AB & A \\ 0 & E \end{pmatrix} = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} E & A \\ 0 & E+BA \end{pmatrix}$。左边矩阵的秩为 $n + \operatorname{rank}(E+AB)$，右边为 $n + \operatorname{rank}(E+BA)$，因此 $\operatorname{rank}(E+AB) = \operatorname{rank}(E+BA)$。
公式：\operatorname{rank}\begin{pmatrix} E+AB & A \\ 0 & E \end{pmatrix} = n + \operatorname{rank}(E+AB)
提示：注意分块矩阵相乘的顺序，确保变换正确。
步骤 2/6
目标：利用已知条件得到秩的关系
已知 $r(E-AB) + r(E+BA) = n$，结合 (1) 中 $r(E+BA)=r(E+AB)$，可得 $r(E-AB) + r(E+AB) = n$。
公式：r(E-AB) + r(E+AB) = n
提示：注意条件中的 $E+BA$ 与 $E+AB$ 的秩相等。
步骤 3/6
目标：计算解空间的维数
$S_1$ 是 $(E-AB)X=0$ 的解空间，维数为 $\dim S_1 = n - r(E-AB)$。$S_2$ 是 $(E+AB)X=0$ 的解空间，维数为 $\dim S_2 = n - r(E+AB)$。因此 $\dim S_1 + \dim S_2 = 2n - (r(E-AB)+r(E+AB)) = 2n - n = n$。
公式：\dim S_1 + \dim S_2 = n
提示：解空间维数等于 $n$ 减去系数矩阵的秩。
步骤 4/6
目标：证明 $S_1 \cap S_2 = \{0\}$
设 $X \in S_1 \cap S_2$，则 $(E-AB)X=0$ 且 $(E+AB)X=0$。两式相加得 $2EX=0$，即 $X=0$。因此 $S_1 \cap S_2 = \{0\}$。
公式：(E-AB)X=0, (E+AB)X=0 \Rightarrow 2X=0
提示：注意 $E$ 是单位矩阵，$2X=0$ 在数域 $P$ 上推出 $X=0$。
步骤 5/6
目标：证明 $S_1 \oplus S_2 = P^n$
由 $\dim S_1 + \dim S_2 = n$ 和 $S_1 \cap S_2 = \{0\}$，知 $S_1 + S_2$ 是直和且维数为 $n$，故 $S_1 \oplus S_2 = P^n$。
提示：直和条件：维数之和等于全空间维数且交为零。
步骤 6/6
目标：证明 $A$ 可逆
定义线性变换 $T(X)=ABX$。对任意 $X \in S_1$，由 $(E-AB)X=0$ 得 $ABX=X$；对任意 $X \in S_2$，由 $(E+AB)X=0$ 得 $ABX=-X$。因此 $T$ 在 $S_1$ 上为恒等映射，在 $S_2$ 上为 $-I$，故 $T$ 的特征值只有 $1$ 和 $-1$，$0$ 不是特征值，所以 $T$ 可逆。由于 $T=AB$ 且 $B$ 可逆，则 $A=TB^{-1}$ 也可逆。
公式：T(X)=ABX, T|_{S_1}=I, T|_{S_2}=-I
提示：注意 $T$ 可逆等价于 $0$ 不是特征值，而 $1$ 和 $-1$ 均非零。
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