东北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．（15 分）（1）设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 2 \\
4 & 1 & -1
\end{array}\right]
$$
求 $\mathscr{A}\left(2 \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+5 \varepsilon_{3}\right)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标．
（2）设 $\alpha$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的非零向量， $\mathscr{A}^{n-1} \alpha \neq 0, \mathscr{A}^{n} \alpha=0$ 。证明：$\alpha, \mathscr{A}^{n} \alpha \cdot \mathscr{A}^{n-1} \alpha$构成 $V$ 的一个基。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出向量坐标
向量 \(\beta = 2\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + 5\varepsilon_3\) 在基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 下的坐标为 \((2, -1, 5)^T\)。
提示：注意坐标与基的对应顺序。
步骤 2/7
目标：计算变换后的坐标
线性变换 \(\mathscr{A}\) 在基下的矩阵为 \(A\)，则 \(\mathscr{A}(\beta)\) 的坐标为 \(A \cdot (2, -1, 5)^T\)。计算矩阵乘法：
\[
A \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 2 \\
4 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0\cdot2 + 3\cdot(-1) + (-1)\cdot5 \\
1\cdot2 + (-2)\cdot(-1) + 2\cdot5 \\
4\cdot2 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot5
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-8 \\ 14 \\ 2
\end{pmatrix}.
\]
公式：\(\mathscr{A}(\beta)\) 的坐标 = 矩阵 \(A\) 乘以 \(\beta\) 的坐标
提示：矩阵乘法时注意行与列的对应，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：写出第一问答案
因此，\(\mathscr{A}(2\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + 5\varepsilon_3)\) 在基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 下的坐标为 \((-8, 14, 2)^T\)。
提示：答案以列向量形式给出。
步骤 4/7
目标：第二问：设定线性组合
设存在数 \(k_0, k_1, \ldots, k_{n-1}\) 使得 \(k_0 \alpha + k_1 \mathscr{A}\alpha + \cdots + k_{n-1} \mathscr{A}^{n-1}\alpha = 0\)。
提示：注意向量组包含 \(n\) 个向量。
步骤 5/7
目标：作用 \(\mathscr{A}^{n-1}\) 得到 \(k_0=0\)
对等式两边作用 \(\mathscr{A}^{n-1}\)，得 \(k_0 \mathscr{A}^{n-1}\alpha + k_1 \mathscr{A}^n\alpha + \cdots + k_{n-1} \mathscr{A}^{2n-2}\alpha = 0\)。由于 \(\mathscr{A}^n\alpha = 0\)，故 \(\mathscr{A}^n\alpha = \mathscr{A}^{n+1}\alpha = \cdots = 0\)，所以上式化为 \(k_0 \mathscr{A}^{n-1}\alpha = 0\)。因为 \(\mathscr{A}^{n-1}\alpha \neq 0\)，所以 \(k_0 = 0\)。
公式：\(\mathscr{A}^{n}\alpha = 0\) 推出 \(\mathscr{A}^{m}\alpha = 0\) 对 \(m \ge n\)
提示：注意 \(\mathscr{A}^{n-1}\) 作用后，只有第一项非零，其余项因 \(\mathscr{A}^n\alpha=0\) 而消失。
步骤 6/7
目标：依次作用 \(\mathscr{A}^{n-2}, \ldots, \mathscr{A}^0\) 得所有系数为零
类似地，对原式作用 \(\mathscr{A}^{n-2}\)，得 \(k_0 \mathscr{A}^{n-2}\alpha + k_1 \mathscr{A}^{n-1}\alpha + \cdots + k_{n-1} \mathscr{A}^{2n-3}\alpha = 0\)。由 \(k_0=0\) 及 \(\mathscr{A}^n\alpha=0\) 知，除 \(k_1 \mathscr{A}^{n-1}\alpha\) 外其余项均为零，故 \(k_1 \mathscr{A}^{n-1}\alpha = 0\)，得 \(k_1 = 0\)。重复此过程，依次可得 \(k_2 = 0, \ldots, k_{n-1} = 0\)。
提示：每次作用 \(\mathscr{A}^{n-i}\) 时，只有第 \(i\) 项保留，其余项因 \(\mathscr{A}^n\alpha=0\) 消失。
步骤 7/7
目标：结论：向量组构成基
因此向量组 \(\alpha, \mathscr{A}\alpha, \ldots, \mathscr{A}^{n-1}\alpha\) 线性无关。由于 \(V\) 是 \(n\) 维空间，故它们构成 \(V\) 的一个基。
提示：线性无关且向量个数等于维数，则构成基。
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