东北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．（15 分）设 $U=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 为欧式空间，其中 $\alpha_{1}=(1,1,2,1)^{\prime}, \alpha_{2}=(1,0,0,-2)^{\prime}$ ，定义 $U$上的内积为 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\alpha_{1}{ }^{\prime} \alpha_{2}$ ．求 $\operatorname{dim} U^{\perp}$ 和 $U^{\perp}$ 的一个标准正交基．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断向量组线性无关，求U的维数
设 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$，即
$$\begin{cases} k_1 + k_2 = 0 \\ k_1 = 0 \\ 2k_1 = 0 \\ k_1 - 2k_2 = 0 \end{cases}$$
解得 $k_1 = k_2 = 0$，故 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\dim U = 2$。
提示：注意方程组由向量分量对应相等得到，不要遗漏方程。
步骤 2/6
目标：求U的正交补的维数
欧式空间为 $\mathbb{R}^4$，故 $\dim U^\perp = 4 - \dim U = 2$。
公式：$\dim U^\perp = \dim V - \dim U$
提示：注意内积空间是 $\mathbb{R}^4$，维数为4。
步骤 3/6
目标：求解齐次线性方程组得到U⊥的一组基
$U^\perp = \{ x \in \mathbb{R}^4 \mid \alpha_1^T x = 0, \alpha_2^T x = 0 \}$。
解方程组：
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 - 2x_4 = 0 \end{cases}$$
由第二式得 $x_1 = 2x_4$，代入第一式得 $x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0$。
取自由变量 $x_3, x_4$，得基础解系：
- 令 $x_3 = 1, x_4 = 0$，得 $\beta_1 = (0, -2, 1, 0)^T$
- 令 $x_3 = 0, x_4 = 1$，得 $\beta_2 = (2, -3, 0, 1)^T$
故 $U^\perp$ 的一组基为 $\beta_1, \beta_2$。
提示：注意方程组中第二个方程是 $x_1 - 2x_4 = 0$，不要写错符号。
步骤 4/6
目标：施密特正交化：第一个向量单位化
取 $\gamma_1 = \beta_1 = (0, -2, 1, 0)^T$，计算模长：
$$\|\gamma_1\| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$$
单位化得：
$$\epsilon_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(0, -2, 1, 0)^T = \left(0, -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)^T$$
公式：$\epsilon_i = \frac{\gamma_i}{\|\gamma_i\|}$
提示：单位化时注意每个分量都要除以模长。
步骤 5/6
目标：施密特正交化：第二个向量正交化并单位化
计算投影：
$$(\beta_2, \gamma_1) = 2\cdot0 + (-3)\cdot(-2) + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 6$$
$$(\gamma_1, \gamma_1) = 5$$
$$\text{proj}_{\gamma_1}\beta_2 = \frac{6}{5}\gamma_1 = \left(0, -\frac{12}{5}, \frac{6}{5}, 0\right)^T$$
则 $\gamma_2 = \beta_2 - \text{proj}_{\gamma_1}\beta_2 = \left(2, -3 + \frac{12}{5}, -\frac{6}{5}, 1\right)^T = \left(2, -\frac{3}{5}, -\frac{6}{5}, 1\right)^T$。
计算模长：
$$\|\gamma_2\| = \sqrt{2^2 + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \left(-\frac{6}{5}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{25} + \frac{36}{25} + 1} = \sqrt{5 + \frac{45}{25}} = \sqrt{5 + \frac{9}{5}} = \sqrt{\frac{34}{5}} = \frac{\sqrt{170}}{5}$$
单位化得：
$$\epsilon_2 = \frac{1}{\|\gamma_2\|}\gamma_2 = \frac{5}{\sqrt{170}}\left(2, -\frac{3}{5}, -\frac{6}{5}, 1\right)^T = \left(\frac{10}{\sqrt{170}}, -\frac{3}{\sqrt{170}}, -\frac{6}{\sqrt{170}}, \frac{5}{\sqrt{170}}\right)^T$$
公式：$\gamma_k = \beta_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\beta_k, \gamma_i)}{(\gamma_i, \gamma_i)} \gamma_i$
提示：计算投影时注意内积顺序；正交化后检查是否与前面向量正交。
步骤 6/6
目标：整理最终答案
$\dim U^\perp = 2$，$U^\perp$ 的一个标准正交基为 $\epsilon_1, \epsilon_2$，其中
$$\epsilon_1 = \left(0, -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)^T, \quad \epsilon_2 = \left(\frac{10}{\sqrt{170}}, -\frac{3}{\sqrt{170}}, -\frac{6}{\sqrt{170}}, \frac{5}{\sqrt{170}}\right)^T$$
提示：最终答案应明确写出维数和标准正交基。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。