东北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{array}\right]
$$
求 $\operatorname{ker} \mathscr{A}, \operatorname{Im} \mathscr{A}$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与符号设定
设 $V$ 是数域上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 是 $V$ 的一个基。线性变换 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵为 $A$。则 $\operatorname{ker}\mathscr{A}$ 是 $\mathscr{A}(x)=0$ 的解空间，即齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 的解空间；$\operatorname{Im}\mathscr{A}$ 是 $A$ 的列向量张成的子空间。
提示：注意：核空间是解空间，像空间是列空间。
步骤 2/6
目标：写出矩阵并化为行阶梯形
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$。
进行行变换：
$r_2 + r_1$，$r_3 - r_1$，$r_4 - 2r_1$ 得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & -3 & -4 \end{pmatrix}$$
再 $r_3 - r_2$，$r_4 + r_2$ 得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：行变换要细心，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：化为行最简形并确定秩
将第二行除以2得行最简形：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
矩阵的秩 $r=2$，因此核空间的维数为 $4-2=2$。
公式：秩-零化度定理：$\dim\ker\mathscr{A} = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：注意行最简形中主元所在列对应线性无关的列。
步骤 4/6
目标：求解齐次方程组得到核空间基
解 $A\mathbf{x}=0$，即方程组：
$$\begin{cases} x_1 + 2x_3 + x_4 = 0 \\ x_2 + \frac{3}{2}x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}$$
令自由变量 $x_3=1, x_4=0$，得 $x_1=-2, x_2=-\frac{3}{2}$，得解向量 $\xi_1 = (-2, -\frac{3}{2}, 1, 0)^T$。
令 $x_3=0, x_4=1$，得 $x_1=-1, x_2=-2$，得解向量 $\xi_2 = (-1, -2, 0, 1)^T$。
因此 $\operatorname{ker}\mathscr{A} = \operatorname{span}\{ -2\alpha_1 -\frac{3}{2}\alpha_2 + \alpha_3,\; -\alpha_1 -2\alpha_2 + \alpha_4 \}$。
提示：自由变量的选取要保证解向量线性无关；注意分数形式保留。
步骤 5/6
目标：确定像空间的基
像空间由 $A$ 的列向量张成。由于秩为2，取前两个线性无关的列作为基。$A$ 的第1列：$(1,-1,1,2)^T$，第2列：$(0,2,2,-2)^T$，它们线性无关。因此
$$\operatorname{Im}\mathscr{A} = \operatorname{span}\{ \alpha_1 -\alpha_2 + \alpha_3 + 2\alpha_4,\; 2\alpha_2 + 2\alpha_3 -2\alpha_4 \}$$
提示：也可以取其他线性无关的列，但通常取主元列。
步骤 6/6
目标：整理最终答案
核空间：$\operatorname{ker}\mathscr{A} = \operatorname{span}\{ -2\alpha_1 -\frac{3}{2}\alpha_2 + \alpha_3,\; -\alpha_1 -2\alpha_2 + \alpha_4 \}$
像空间：$\operatorname{Im}\mathscr{A} = \operatorname{span}\{ \alpha_1 -\alpha_2 + \alpha_3 + 2\alpha_4,\; 2\alpha_2 + 2\alpha_3 -2\alpha_4 \}$
提示：注意基向量用基 $\alpha_i$ 的线性组合表示。
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