东北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)(n \geq 3)$ ．
（1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ．
（2）证明：$A^{100}-E$ 不是零矩阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算A^2和A^3
首先计算 $A^2$：
$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
再计算 $A^3$：
$$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：矩阵乘法时注意行乘列的顺序，避免计算错误。
步骤 2/6
目标：验证n=3时递推公式成立
验证 $n=3$ 时公式 $A^n = A^{n-2} + A^2 - E$ 成立：
$$A^3 = A^1 + A^2 - E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
与直接计算的 $A^3$ 一致。
公式：$A^3 = A + A^2 - E$
提示：注意单位矩阵 $E$ 是3阶单位矩阵。
步骤 3/6
目标：数学归纳法假设n=k成立
假设当 $n=k$（$k \geq 3$）时公式成立，即 $A^k = A^{k-2} + A^2 - E$。
公式：$A^k = A^{k-2} + A^2 - E$
提示：归纳假设中 $k \geq 3$，确保 $k-2 \geq 1$。
步骤 4/6
目标：证明n=k+1时公式成立
当 $n=k+1$ 时，
$$A^{k+1} = A \cdot A^k = A(A^{k-2} + A^2 - E) = A^{k-1} + A^3 - A.$$
代入 $A^3 = A + A^2 - E$（由 $n=3$ 时成立），得
$$A^{k+1} = A^{k-1} + (A + A^2 - E) - A = A^{k-1} + A^2 - E.$$
这正是 $n=k+1$ 时的形式。由数学归纳法，对一切 $n \geq 3$ 成立。
公式：$A^{k+1} = A^{k-1} + A^2 - E$
提示：注意 $A^{k-1}$ 是 $A^{(k+1)-2}$，与公式形式一致。
步骤 5/6
目标：利用递推关系求和
由（1）知 $A^n - A^{n-2} = A^2 - E$ 对 $n \geq 3$ 成立。因此，
$$A^{100} - E = (A^{100} - A^{98}) + (A^{98} - A^{96}) + \cdots + (A^4 - A^2) + (A^2 - E).$$
从 $n=4$ 到 $n=100$，步长为2，共有 $\frac{100-4}{2}+1 = 49$ 个差，加上 $A^2 - E$ 共50项，每项均为 $A^2 - E$，所以
$$A^{100} - E = 50(A^2 - E).$$
公式：$A^{100} - E = 50(A^2 - E)$
提示：注意项数计算：从4到100的偶数个数为50个，但差是相邻偶数之差，共49个差，再加上 $A^2-E$ 本身，共50个。
步骤 6/6
目标：计算A^2 - E并判断非零
计算 $A^2 - E$：
$$A^2 - E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0.$$
因此 $A^{100} - E = 50 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 50 & 0 & 0 \\ 50 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$，故不是零矩阵。
公式：$A^2 - E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵数乘时每个元素都乘以常数，不要遗漏。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。