东北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．（15 分）设 $A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right],|A|=1$ 。证明：
（1）当 $|a+d|>2$ 时，则 $A$ 与 $\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & \frac{1}{\lambda}\end{array}\right]$ 相似 $(\lambda \neq \pm 1,0$ 且 $\lambda \in \mathbb{R})$ ．
（2）当 $|a+d|=2$ 时，则 $A= \pm\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 或相似于 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ ．
（3）当 $|a+d|<2$ 时，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ ，并求 $P$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算特征多项式
矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + \det(A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + 1$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + 1$
提示：注意 $\det(A)=1$ 的条件。
步骤 2/6
目标：分析判别式
判别式 $\Delta = (a+d)^2 - 4$。根据 $|a+d|$ 与 $2$ 的大小关系，$\Delta$ 的正负决定特征值的性质。
公式：$\Delta = (a+d)^2 - 4$
提示：注意 $|a+d|>2$ 时 $\Delta>0$，$|a+d|=2$ 时 $\Delta=0$，$|a+d|<2$ 时 $\Delta<0$。
步骤 3/6
目标：证明（1）：$|a+d|>2$ 时相似于对角矩阵
当 $|a+d|>2$ 时，$\Delta>0$，特征多项式有两个不同的实根 $\lambda$ 和 $\mu$。由韦达定理，$\lambda\mu=1$，故 $\mu=1/\lambda$，且 $\lambda\neq\pm1,0$。由于特征值互异，$A$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & 1/\lambda \end{pmatrix}$。
公式：$\lambda = \frac{a+d+\sqrt{(a+d)^2-4}}{2}$
提示：注意 $\lambda$ 和 $1/\lambda$ 是特征值，且 $\lambda\neq0,\pm1$。
步骤 4/6
目标：证明（2）：$|a+d|=2$ 时的可能形式
当 $|a+d|=2$ 时，$\Delta=0$，特征值 $\lambda = \frac{a+d}{2} = \pm1$。若 $A$ 可对角化，则 $A$ 相似于 $\begin{pmatrix} \pm1 & 0 \\ 0 & \pm1 \end{pmatrix}$，但由 $\det(A)=1$ 知只能是 $\pm I$。若 $A$ 不可对角化，则 Jordan 标准形为 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$，其中 $\lambda=\pm1$。因此 $A$ 为 $\pm I$ 或相似于 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 或 $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：Jordan 标准形 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$
提示：注意 $A$ 可能可对角化也可能不可对角化，需要分类讨论。
步骤 5/6
目标：证明（3）：$|a+d|<2$ 时相似于旋转矩阵
当 $|a+d|<2$ 时，$\Delta<0$，特征值为共轭复数，且模为1（因为乘积为1）。设特征值为 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$，其中 $\cos\theta = \frac{a+d}{2}$，$\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta}$。存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$。
公式：$\cos\theta = \frac{a+d}{2}$，$\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta}$
提示：注意 $\sin\theta$ 取正值，因为旋转矩阵通常取正。
步骤 6/6
目标：求（3）中的可逆矩阵 $P$
取特征向量 $v$ 对应 $e^{i\theta}$，则 $Av = e^{i\theta}v$。设 $v = x + iy$，则 $A(x+iy) = (\cos\theta + i\sin\theta)(x+iy)$，比较实虚部得 $Ax = \cos\theta x - \sin\theta y$，$Ay = \sin\theta x + \cos\theta y$。取 $P = (x, y)$，则 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$。具体地，由特征方程 $(A - e^{i\theta}I)v=0$，解得 $v = \begin{pmatrix} b \\ e^{i\theta} - a \end{pmatrix}$（若 $b \neq 0$），则 $x = \begin{pmatrix} b \\ \cos\theta - a \end{pmatrix}$，$y = \begin{pmatrix} 0 \\ \sin\theta \end{pmatrix}$。若 $b=0$，则 $c \neq 0$，类似可得 $P = \begin{pmatrix} 0 & c \\ \sin\theta & a-\cos\theta \end{pmatrix}$。
公式：$P = (x, y)$，其中 $x = \operatorname{Re}(v)$，$y = \operatorname{Im}(v)$
提示：注意 $P$ 的取法不唯一，但需保证可逆。当 $b=0$ 时需用 $c$ 构造。
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