东北大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{cccc}
a & 1 & & \\
& a & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & a
\end{array}\right]
$$
（1）设 $\alpha_{n}$ 为 $\mathscr{A}$ —子空间 $W$ 的一个向量，证明：$W=V$ ．
（2）证明：$\alpha_{1}$ 属于所有非零的 $\mathscr{A}-$ 子空间．
（3）证明：$V$ 不能表示为两个非平凡的不变子空间的直和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解线性变换在基下的作用
已知线性变换 $\mathscr{A}$ 在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下的矩阵为 Jordan 块：
$$
\mathscr{A}(\alpha_1) = a\alpha_1, \quad \mathscr{A}(\alpha_i) = \alpha_{i-1} + a\alpha_i \quad (i=2,\dots,n).
$$
公式：$\mathscr{A}(\alpha_i) = \alpha_{i-1} + a\alpha_i$
提示：注意 $\alpha_1$ 是特征向量，其余是广义特征向量。
步骤 2/5
目标：证明(1)：由 $\alpha_n$ 生成整个空间
设 $W$ 是 $\mathscr{A}$-子空间且 $\alpha_n \in W$。由于 $W$ 在 $\mathscr{A}$ 下不变，有 $\mathscr{A}(\alpha_n) = \alpha_{n-1} + a\alpha_n \in W$，从而 $\alpha_{n-1} \in W$。重复此过程，依次得到 $\alpha_{n-2},\dots,\alpha_1 \in W$。因此 $W$ 包含所有基向量，故 $W=V$。
公式：$\mathscr{A}(\alpha_n) = \alpha_{n-1} + a\alpha_n$
提示：注意每次应用 $\mathscr{A}$ 后减去 $a$ 倍原向量即可得到前一个基向量。
步骤 3/5
目标：引入幂零变换简化计算
考虑变换 $\mathscr{B} = \mathscr{A} - a\mathcal{I}$，则 $\mathscr{B}$ 是幂零的，且 $\mathscr{B}(\alpha_i) = \alpha_{i-1}$（约定 $\alpha_0=0$）。于是 $\mathscr{B}^{k-1}(\alpha_k) = \alpha_1$，且 $\mathscr{B}^{k-1}(\alpha_i)=0$ 对 $i
公式：$\mathscr{B}(\alpha_i) = \alpha_{i-1}$
提示：$\mathscr{B}$ 是幂零指数为 $n$ 的幂零变换。
步骤 4/5
目标：证明(2)：$\alpha_1$ 属于任何非零不变子空间
设 $U$ 是非零 $\mathscr{A}$-子空间，取非零 $\beta \in U$，展开 $\beta = \sum_{i=1}^n c_i\alpha_i$。令 $k = \max\{i \mid c_i \neq 0\}$，则 $\beta = \sum_{i=1}^k c_i\alpha_i$ 且 $c_k \neq 0$。计算 $\mathscr{B}^{k-1}(\beta) = c_k \mathscr{B}^{k-1}(\alpha_k) = c_k \alpha_1$。由于 $U$ 是 $\mathscr{A}$-子空间，也是 $\mathscr{B}$-子空间，故 $c_k\alpha_1 \in U$，从而 $\alpha_1 \in U$。
公式：$\mathscr{B}^{k-1}(\beta) = c_k \alpha_1$
提示：注意 $k$ 是最大下标，确保 $\mathscr{B}^{k-1}$ 消去所有低于 $k$ 的项。
步骤 5/5
目标：证明(3)：不能分解为两个非平凡不变子空间的直和
假设 $V = U \oplus W$，其中 $U,W$ 都是非平凡的 $\mathscr{A}$-子空间。由(2)知 $\alpha_1 \in U$ 且 $\alpha_1 \in W$，故 $\alpha_1 \in U \cap W$。但直和要求 $U \cap W = \{0\}$，矛盾。因此 $V$ 不能表示为两个非平凡不变子空间的直和。
提示：直和分解要求子空间交为 $\{0\}$，而 $\alpha_1$ 同时属于两个子空间导致矛盾。
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