东北师范大学 2023年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $A$ 是 $n$ 阶实满秩矩阵，证明：存在正交矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ 使得
$$
P_{1}^{-1} A P_{2}=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_{1} & & & \\
& \lambda_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$
其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵性质
由于 $A$ 是 $n$ 阶实满秩矩阵，则 $A^T A$ 是实对称矩阵，且对任意非零向量 $x$，有 $x^T (A^T A) x = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|^2 > 0$，因为 $A$ 满秩，$Ax \neq 0$。所以 $A^T A$ 是正定矩阵。
公式：x^T (A^T A) x = \|Ax\|^2 > 0
提示：注意满秩保证 $Ax \neq 0$，从而正定性成立。
步骤 2/6
目标：正交对角化 $A^T A$
由对称矩阵的正交对角化定理，存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^T (A^T A) Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1^2, \lambda_2^2, \dots, \lambda_n^2)$，其中 $\lambda_i^2 > 0$ 是 $A^T A$ 的特征值。令 $\lambda_i > 0$，则 $\Lambda = \Sigma^2$，其中 $\Sigma = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。
公式：Q^T (A^T A) Q = \operatorname{diag}(\lambda_1^2, \dots, \lambda_n^2)
提示：注意特征值全为正，且 $\lambda_i$ 是 $A$ 的奇异值。
步骤 3/6
目标：构造矩阵 $B$
定义 $B = A Q \Sigma^{-1}$。由于 $\Sigma$ 可逆，$B$ 是 $n$ 阶实矩阵。计算 $B^T B$：$B^T B = \Sigma^{-1} Q^T A^T A Q \Sigma^{-1} = \Sigma^{-1} \Lambda \Sigma^{-1} = \Sigma^{-1} \Sigma^2 \Sigma^{-1} = I_n$。因此 $B$ 是正交矩阵。
公式：B^T B = I_n
提示：注意 $\Sigma^{-1}$ 是对角矩阵，其逆为 $\operatorname{diag}(1/\lambda_1, \dots, 1/\lambda_n)$。
步骤 4/6
目标：设定正交矩阵 $P_1, P_2$
令 $P_1 = B$，$P_2 = Q$。则 $P_1$ 和 $P_2$ 都是正交矩阵，且 $P_1^{-1} = P_1^T$。
提示：正交矩阵的逆等于其转置。
步骤 5/6
目标：验证等式
计算 $P_1^{-1} A P_2 = B^T A Q$。由于 $B = A Q \Sigma^{-1}$，则 $B^T = \Sigma^{-1} Q^T A^T$。于是 $B^T A Q = \Sigma^{-1} Q^T A^T A Q = \Sigma^{-1} \Lambda = \Sigma^{-1} \Sigma^2 = \Sigma$。因此 $P_1^{-1} A P_2 = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i > 0$。
公式：P_1^{-1} A P_2 = \Sigma
提示：注意 $A^T A$ 的对角化结果代入时顺序要正确。
步骤 6/6
目标：结论
因此，存在正交矩阵 $P_1, P_2$ 使得 $P_1^{-1} A P_2$ 为对角矩阵，且对角线元素均为正数。
提示：该结果即为矩阵的奇异值分解（SVD）的等价形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。