东北师范大学 2023年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $V$ 是欧氏空间，$W$ 是 $V$ 的子空间，$V$ 中的向量 $\displaystyle \alpha$ 不在 $W$ 中，问是否存在 $\displaystyle \alpha_{0} \in W$ ，使得 $\displaystyle \alpha-\alpha_{0}$ 与 $W$ 中任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题与已知条件
已知 $V$ 是欧氏空间，$W$ 是 $V$ 的子空间，向量 $\alpha \notin W$。问题：是否存在 $\alpha_0 \in W$，使得 $\alpha - \alpha_0$ 与 $W$ 中任意向量都正交？
提示：注意 $\alpha$ 不在 $W$ 中，但 $\alpha_0$ 必须在 $W$ 中。
步骤 2/5
目标：应用正交分解定理
由正交分解定理，对于欧氏空间 $V$ 及其子空间 $W$，任意向量 $\alpha \in V$ 可唯一分解为 $\alpha = \alpha_0 + \beta$，其中 $\alpha_0 \in W$，$\beta \in W^\perp$。这里 $\beta = \alpha - \alpha_0$ 与 $W$ 中所有向量正交。
公式：$\alpha = \alpha_0 + \beta$，$\alpha_0 \in W$，$\beta \in W^\perp$
提示：正交分解定理要求 $V$ 是欧氏空间，$W$ 是有限维子空间？实际上对于无限维欧氏空间，正交分解定理成立需要 $W$ 是完备子空间，但通常高等代数中假设 $V$ 是有限维或 $W$ 是闭子空间。本题默认成立。
步骤 3/5
目标：得出存在性结论
取 $\alpha_0$ 为 $\alpha$ 在 $W$ 上的正交投影，则 $\alpha - \alpha_0 \in W^\perp$，即与 $W$ 中任意向量正交。因此存在这样的 $\alpha_0$。
提示：注意 $\alpha \notin W$ 并不影响存在性，正交投影对任意 $\alpha$ 都存在。
步骤 4/5
目标：证明唯一性
假设存在另一个 $\alpha_0' \in W$ 也满足 $\alpha - \alpha_0' \perp W$，即 $\alpha - \alpha_0' \in W^\perp$。由于 $\alpha - \alpha_0 \in W^\perp$，两式相减得 $(\alpha_0' - \alpha_0) \in W^\perp$。又因为 $\alpha_0' - \alpha_0 \in W$，所以 $\alpha_0' - \alpha_0 \in W \cap W^\perp = \{0\}$，故 $\alpha_0' = \alpha_0$。
公式：$W \cap W^\perp = \{0\}$
提示：注意 $W \cap W^\perp = \{0\}$ 是欧氏空间的基本性质，因为只有零向量与自己正交。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在唯一的 $\alpha_0 \in W$ 使得 $\alpha - \alpha_0$ 与 $W$ 中任意向量正交，该 $\alpha_0$ 就是 $\alpha$ 在 $W$ 上的正交投影。
提示：唯一性依赖于 $W \cap W^\perp = \{0\}$，若 $V$ 不是欧氏空间（如退化内积），则可能不唯一。
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