东北师范大学 2023年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式为
$$
f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(x-\lambda_{2}\right)^{m_{2}}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2}
$$
其中 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=n$ ．
（1）证明： $\displaystyle \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 是恒等变换．
（2）证明：$\displaystyle V=\operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}} \oplus \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{2} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明Ker((φ-λ1E)^{m1})是φ的不变子空间
设 $W = \operatorname{Ker}\left((\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}\right)$，则对任意 $\alpha \in W$，有 $(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha)=0$。要证 $\varphi(\alpha) \in W$，即证 $(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\varphi(\alpha))=0$。由于 $\varphi$ 与 $(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}$ 可交换，故 $(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\varphi(\alpha)) = \varphi\left((\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha)\right) = \varphi(0)=0$，因此 $\varphi(\alpha) \in W$，所以 $W$ 是 $\varphi$ 的不变子空间。
公式：$(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\varphi(\alpha)) = \varphi\left((\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha)\right)$
提示：注意线性变换的可交换性：$\varphi$ 与 $\varphi-\lambda_1\mathscr{E}$ 可交换，从而与它的多项式可交换。
步骤 2/6
目标：利用Hamilton-Cayley定理得到零化多项式
由Hamilton-Cayley定理，特征多项式 $f(\varphi)=0$，即 $(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}=0$。令 $V_1 = \operatorname{Ker}\left((\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}\right)$，$V_2 = \operatorname{Ker}\left((\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}\right)$。
公式：$(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}=0$
提示：Hamilton-Cayley定理：线性变换满足其特征多项式。
步骤 3/6
目标：构造互素多项式的组合恒等式
由于 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，多项式 $(x-\lambda_1)^{m_1}$ 与 $(x-\lambda_2)^{m_2}$ 互素，故存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $u(x)(x-\lambda_1)^{m_1} + v(x)(x-\lambda_2)^{m_2}=1$。将 $\varphi$ 代入得 $u(\varphi)(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1} + v(\varphi)(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2} = \mathscr{E}$。
公式：$u(\varphi)(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1} + v(\varphi)(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2} = \mathscr{E}$
提示：互素多项式存在组合恒等式，这是关键步骤。
步骤 4/6
目标：证明V = V1 + V2
对任意 $\alpha \in V$，由恒等式得 $\alpha = u(\varphi)(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha) + v(\varphi)(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}(\alpha)$。令 $\beta = v(\varphi)(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}(\alpha)$，则 $(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\beta) = v(\varphi)(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}(\alpha)=0$，故 $\beta \in V_1$。同理，$u(\varphi)(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha) \in V_2$。因此 $\alpha \in V_1 + V_2$，即 $V = V_1 + V_2$。
公式：$\alpha = u(\varphi)(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha) + v(\varphi)(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}(\alpha)$
提示：注意每一项属于哪个子空间，利用零化多项式验证。
步骤 5/6
目标：证明V1 ∩ V2 = {0}
若 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则 $(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha)=0$ 且 $(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}(\alpha)=0$。代入恒等式得 $\alpha = u(\varphi)(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha) + v(\varphi)(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}(\alpha)=0$，故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$\alpha = u(\varphi)(\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}(\alpha) + v(\varphi)(\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}(\alpha)$
提示：利用恒等式直接得到零向量。
步骤 6/6
目标：结论：直和分解
由 $V = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，得 $V = V_1 \oplus V_2$，即 $V = \operatorname{Ker}\left((\varphi-\lambda_1 \mathscr{E})^{m_1}\right) \oplus \operatorname{Ker}\left((\varphi-\lambda_2 \mathscr{E})^{m_2}\right)$。
提示：直和分解要求子空间的和是直和，即交为零。
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