东南大学 2020年高等代数第2题
📝 题目
2．求证 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & -1 & 2 & -1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & -1 & 2\end{array}\right)$ 的特征值全大于零。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确矩阵结构
设矩阵 $A$ 为 $n$ 阶三对角矩阵，主对角线元素均为 $2$，次对角线元素均为 $-1$，其余元素为 $0$。即
\[ A = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
-1 & 2 & -1 & \cdots & 0 \\
0 & -1 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2
\end{pmatrix}. \]
目标是证明 $A$ 的特征值全大于零。
提示：注意矩阵是 $n$ 阶，且只有主对角线和两条次对角线非零。
步骤 2/6
目标：选择证明方法
证明特征值全大于零等价于证明 $A$ 是正定矩阵。这里采用能量法（二次型方法），直接计算对任意非零向量 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ 的二次型 $x^T A x$。
提示：正定矩阵的定义：对任意非零向量 $x$，有 $x^T A x > 0$。
步骤 3/6
目标：计算二次型表达式
计算 $x^T A x$：
\[ x^T A x = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j = 2\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^{n-1} (-1) x_i x_{i+1} + \sum_{i=1}^{n-1} (-1) x_{i+1} x_i = 2\sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}. \]
公式：$x^T A x = 2\sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$
提示：注意交叉项 $x_i x_{i+1}$ 出现两次，系数为 $-2$。
步骤 4/6
目标：配方化简二次型
将二次型配方为平方和形式：
\[ x^T A x = \sum_{i=1}^{n-1} (x_i - x_{i+1})^2 + x_1^2 + x_n^2. \]
验证：展开 $\sum_{i=1}^{n-1} (x_i - x_{i+1})^2 = \sum_{i=1}^{n-1} (x_i^2 - 2x_i x_{i+1} + x_{i+1}^2) = \sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 + \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1}^2 - 2\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$。注意 $\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 + \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1}^2 = \sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 + \sum_{i=2}^{n} x_i^2 = x_1^2 + x_n^2 + 2\sum_{i=2}^{n-1} x_i^2$。因此 $\sum_{i=1}^{n-1} (x_i - x_{i+1})^2 + x_1^2 + x_n^2 = 2\sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$，与二次型一致。
公式：$x^T A x = \sum_{i=1}^{n-1} (x_i - x_{i+1})^2 + x_1^2 + x_n^2$
提示：配方时注意各项的系数，确保等式成立。
步骤 5/6
目标：证明二次型恒正
对于任意非零向量 $x$，$x^T A x$ 是平方和形式，每一项非负。若 $x^T A x = 0$，则每一项必须为零，即 $x_1 = 0$，$x_n = 0$，且 $x_i - x_{i+1} = 0$ 对所有 $i=1,\dots,n-1$ 成立。由此推出 $x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$，即 $x$ 为零向量。因此，对任意非零向量 $x$，有 $x^T A x > 0$，故 $A$ 正定。
提示：注意平方和为零当且仅当每一项为零，从而推出 $x=0$。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $A$ 是正定矩阵，其特征值全大于零。因此原命题得证。
提示：正定矩阵的特征值全为正数，这是正定矩阵的性质。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。