东南大学 2025年高等代数第3题

矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = (\lambda - a)(\lambda - 3)(\lambda - 2)$，因此特征值为 $a, 3, 2$。

若 $a, 3, 2$ 互不相同，则 $A$ 有3个不同的特征值，故可对角化。其若尔当标准形为对角矩阵 $\operatorname{diag}(a, 3, 2)$。不变因子为 $\lambda - a, \lambda - 3, \lambda - 2$。

设 $a=3$，则特征值为 $3$（二重）和 $2$。考虑矩阵 $A-3I$ 的秩：若 $\operatorname{rank}(A-3I)=1$，则几何重数为 $2$，可对角化，若尔当标准形为 $\operatorname{diag}(3,3,2)$；若 $\operatorname{rank}(A-3I)=2$，则几何重数为 $1$，若尔当标准形为 $\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$。类似地，若 $a=2$，则特征值为 $2$（二重）和 $3$，同理有两种情况。

当 $a=3$ 且 $\operatorname{rank}(A-3I)=1$ 时，初等因子为 $\lambda-3, \lambda-3, \lambda-2$，不变因子为 $1, \lambda-3, (\lambda-3)(\lambda-2)$。当 $\operatorname{rank}(A-3I)=2$ 时，初等因子为 $(\lambda-3)^2, \lambda-2$，不变因子为 $1, 1, (\lambda-3)^2(\lambda-2)$。类似地处理 $a=2$ 的情况。

综上，$A$ 的若尔当标准形取决于特征值是否互异以及重根时的秩。不变因子相应为：特征值互异时 $\lambda-a, \lambda-3, \lambda-2$；重根且可对角化时 $1, \lambda-\lambda_1, (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)$；重根且不可对角化时 $1, 1, (\lambda-\lambda_1)^2(\lambda-\lambda_2)$。

$A$ 与 $B$ 相似当且仅当它们有相同的若尔当标准形（或相同的不变因子）。由于 $B$ 的 $*$ 表示任意元素，$B$ 的若尔当标准形取决于其具体元素。一般地，$A$ 与 $B$ 不相似，除非 $B$ 的特征值和若尔当结构恰好与 $A$ 相同。例如，若 $A$ 可对角化且特征值互异，则 $B$ 需有相同特征值且可对角化。

更精确地，$A$ 与 $B$ 相似当且仅当存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = B$。由于 $A$ 和 $B$ 的 $*$ 位置不同，通常需要 $A$ 的 $*$ 满足特定条件。例如，若 $A$ 的 $*$ 使得 $A$ 为对角矩阵，则 $B$ 也需为对角矩阵且对角线元素相同。