东南大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7．$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵．
（1）存在矩阵 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A, B A B=B$ ．
（2）若 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A$ 且 $\displaystyle B A B=B, K(A)=\left\{A X=0 \mid X \in P^{n}\right\}, R(B)=\left\{B Y \mid Y \in P^{m}\right\}$ ，证明：
$$
P^{n}=K(A) \oplus R(B)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明存在矩阵B满足ABA=A且BAB=B
由于$A$是$m\times n$矩阵，秩为$r$，存在可逆矩阵$P$和$Q$使得$A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。令$B = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}$，则直接计算可得$ABA = A$且$BAB = B$。
公式：$A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$
提示：注意$P$和$Q$是可逆矩阵，且$B$的构造利用了$A$的等价标准形。
步骤 2/4
目标：证明K(A) ∩ R(B) = {0}
设$x \in K(A) \cap R(B)$，则$Ax = 0$且存在$y$使得$x = By$。于是$x = By = BABy = BAx = 0$，故$K(A) \cap R(B) = \{0\}$。
公式：$x = By = BABy = BAx$
提示：注意利用$BAB = B$和$Ax=0$推导出$x=0$。
步骤 3/4
目标：证明P^n = K(A) + R(B)
对任意$x \in P^n$，令$x_1 = BAx$，$x_2 = x - BAx$。则$x_1 \in R(B)$，且$Ax_2 = Ax - ABAx = Ax - Ax = 0$，故$x_2 \in K(A)$。因此$x = x_1 + x_2 \in R(B) + K(A)$。
公式：$x_1 = BAx$, $x_2 = x - BAx$
提示：注意验证$x_2$属于$K(A)$时使用了$ABA=A$。
步骤 4/4
目标：总结直和分解
由$K(A) \cap R(B) = \{0\}$和$P^n = K(A) + R(B)$，根据直和的定义，可得$P^n = K(A) \oplus R(B)$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
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