东南大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵。
（1） $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 是否等于 $\displaystyle \operatorname{tr}(B A)$ ？
（2）$\displaystyle A, B, A-B$ 正定，证明： $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}-B^{2}\right)>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明迹等式 tr(AB)=tr(BA)
设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$, $B=(b_{ij})_{n\times n}$，则 $(AB)_{ii}=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$，所以 $\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$。交换求和顺序得 $\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}=\operatorname{tr}(BA)$。因此 $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$。
公式：$\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$
提示：注意求和顺序交换的合法性，因为有限和可交换。
步骤 2/4
目标：利用正定性进行合同变换
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^TAP=I$。令 $C=P^TBP$，则 $C$ 对称正定（因为 $B$ 正定）。由 $A-B$ 正定得 $P^T(A-B)P=I-C$ 正定，故 $I-C$ 正定，即 $C$ 的特征值 $\lambda_i$ 满足 $0<\lambda_i<1$。
公式：$P^TAP=I$, $C=P^TBP$, $I-C$ 正定
提示：注意合同变换保持正定性，且 $P$ 可逆。
步骤 3/4
目标：将迹转化为相似变换下的形式
计算 $\operatorname{tr}(A^2-B^2)=\operatorname{tr}(P^{-T}P^TA^2PP^{-1}-P^{-T}P^TB^2PP^{-1})$。由于 $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$，有 $\operatorname{tr}(A^2-B^2)=\operatorname{tr}(P^TA^2P-P^TB^2P)$。而 $P^TA^2P=(P^TAP)^2=I^2=I$，$P^TB^2P=(P^TBP)^2=C^2$，所以 $\operatorname{tr}(A^2-B^2)=\operatorname{tr}(I-C^2)$。
公式：$\operatorname{tr}(A^2-B^2)=\operatorname{tr}(I-C^2)$
提示：注意 $P^TA^2P=(P^TAP)^2$ 成立是因为 $P^T A P = I$ 且 $P$ 可逆，但一般情况 $(P^TAP)^2 = P^T A P P^T A P$，不一定等于 $P^T A^2 P$，这里因为 $P^TAP=I$ 是特殊情况。实际上，更严谨的做法是：$P^T A^2 P = P^T A (P P^{-1}) A P = (P^T A P)(P^{-1} A P)$，但 $P^{-1} A P$ 不一定等于 $P^T A P$。然而，由于 $A$ 正定，$P$ 可取为 $A$ 的平方根逆，使得 $P^TAP=I$ 且 $P$ 对称，此时 $P^T=P$，则 $P^T A^2 P = P A^2 P = (P A P)(P A P) = I^2 = I$。因此，我们假设 $P$ 是对称的（例如取 $P=A^{-1/2}$），这样推导成立。
步骤 4/4
目标：利用特征值证明迹大于零
设 $C$ 的特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则 $I-C^2$ 的特征值为 $1-\lambda_i^2$。由于 $0<\lambda_i<1$，有 $1-\lambda_i^2>0$。因此 $\operatorname{tr}(I-C^2)=\sum_{i=1}^n (1-\lambda_i^2)>0$。从而 $\operatorname{tr}(A^2-B^2)>0$。
公式：$\operatorname{tr}(I-C^2)=\sum_{i=1}^n (1-\lambda_i^2)$
提示：注意迹等于特征值之和，且正定矩阵的特征值均为正。
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