中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．已知 $A$ 是奇数阶正交矩阵，且 $|A|=1$ ，则 1 $\_\_\_\_$ （填＂一定＂或＂不一定＂）是 $A$ 的特征值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目条件
已知 $A$ 是奇数阶正交矩阵，且 $|A|=1$。需要判断 $1$ 是否一定是 $A$ 的特征值。
提示：注意正交矩阵的定义：$A^T A = I$，且 $|A| = \pm 1$。这里 $|A|=1$。
步骤 2/8
目标：构造特征多项式并代入
考虑特征多项式 $f(\lambda) = |\lambda I - A|$。令 $\lambda = 1$，则 $f(1) = |I - A|$。
公式：$f(\lambda) = |\lambda I - A|$
提示：特征值 $\lambda$ 满足 $|\lambda I - A| = 0$。
步骤 3/8
目标：利用正交性变形
由于 $A$ 正交，有 $A^T = A^{-1}$。将 $|I - A|$ 变形：$|I - A| = |A A^T - A| = |A(A^T - I)|$。
公式：$A^T = A^{-1}$
提示：注意 $I = A A^T$，因为 $A^T A = I$。
步骤 4/8
目标：提取行列式因子
由行列式乘法性质：$|A(A^T - I)| = |A| \cdot |A^T - I|$。已知 $|A|=1$，所以 $|I - A| = |A^T - I|$。
公式：$|AB| = |A| \cdot |B|$
提示：注意 $|A|=1$ 是已知条件。
步骤 5/8
目标：转置性质
由于 $|A^T - I| = |(A - I)^T| = |A - I|$，所以 $|I - A| = |A - I|$。
公式：$|M^T| = |M|$
提示：转置不改变行列式的值。
步骤 6/8
目标：利用奇数阶性质
注意 $|A - I| = |-(I - A)| = (-1)^n |I - A|$，其中 $n$ 是 $A$ 的阶数。因为 $n$ 是奇数，$(-1)^n = -1$，所以 $|A - I| = -|I - A|$。
公式：$|kM| = k^n |M|$
提示：注意提取因子 $(-1)$ 时，阶数 $n$ 会影响符号。
步骤 7/8
目标：推导出结论
结合 $|I - A| = |A - I|$ 和 $|A - I| = -|I - A|$，得到 $|I - A| = -|I - A|$，即 $2|I - A| = 0$，所以 $|I - A| = 0$。因此 $\lambda = 1$ 是 $A$ 的特征值。
提示：由 $|I - A| = 0$ 直接得出 $1$ 是特征值。
步骤 8/8
目标：填写答案
所以 $1$ 一定是 $A$ 的特征值。答案填“一定”。
提示：注意题目要求填写“一定”或“不一定”。
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