中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件与特征值的关系
已知 $|E+A|=0$，$|E+2A|=0$，$|E-3A|=0$。由于 $|E+\lambda A|=0$ 当且仅当 $-1/\lambda$ 是 $A$ 的特征值（若 $\lambda \neq 0$），因此 $-1$，$-1/2$，$1/3$ 分别是 $A$ 的特征值。
公式：$|E+\lambda A|=0 \iff \lambda$ 是 $A$ 的特征值 $\mu$ 满足 $1+\lambda\mu=0$，即 $\mu=-1/\lambda$
提示：注意特征值的定义：$|\mu E - A|=0$，所以 $|E+\lambda A|=0$ 等价于 $|-\frac{1}{\lambda}E - A|=0$，即 $-1/\lambda$ 是特征值。
步骤 2/5
目标：确定A的特征值
由第一步，$A$ 的三个特征值为 $\lambda_1=-1$，$\lambda_2=-\frac{1}{2}$，$\lambda_3=\frac{1}{3}$。
提示：注意特征值的顺序不影响结果。
步骤 3/5
目标：计算E+6A的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $1+6\lambda$ 是 $E+6A$ 的特征值。因此 $E+6A$ 的特征值为：$1+6\times(-1)=-5$，$1+6\times(-\frac{1}{2})=-2$，$1+6\times\frac{1}{3}=3$。
公式：若 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$，则 $(E+6A)\mathbf{v}=(1+6\lambda)\mathbf{v}$
提示：注意矩阵多项式特征值的计算：$f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$。
步骤 4/5
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积。因此 $|E+6A| = (-5) \times (-2) \times 3 = 30$。
公式：$|B| = \prod_{i=1}^n \mu_i$，其中 $\mu_i$ 是 $B$ 的特征值
提示：注意特征值的乘积要包括所有特征值，且注意符号。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此 $|E+6A| = 30$。
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