中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为4维列向量组，且满足 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{4}$ ， $\beta=\alpha_{1}+\alpha_{3}+3 \alpha_{4}$ ，则非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的通解为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析向量组的线性关系
已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性无关，且 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_4$，因此向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩为 3，且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 是一个极大无关组。
提示：注意 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性表示，因此秩为 3。
步骤 2/6
目标：表示 $\beta$ 为极大无关组的线性组合
将 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_4$ 代入 $\beta = \alpha_1 + \alpha_3 + 3\alpha_4$，得 $\beta = \alpha_1 + (\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_4) + 3\alpha_4 = 2\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_4$。
公式：$\beta = 2\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_4$
提示：代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：确定非齐次方程组有解
由于 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性表示，而 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 是 $A$ 的列向量组的极大无关组，因此 $\beta$ 可由 $A$ 的列向量线性表示，故非齐次线性方程组 $AX = \beta$ 有解。
提示：有解的充要条件是 $\beta$ 可由 $A$ 的列向量线性表示。
步骤 4/6
目标：求非齐次方程组的一个特解
取特解 $\eta^*$ 为 $\beta$ 在极大无关组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 下的系数，并补上 $\alpha_3$ 的系数 0，即 $\eta^* = (2, 1, 0, 2)^T$。验证：$A\eta^* = 2\alpha_1 + \alpha_2 + 0\cdot\alpha_3 + 2\alpha_4 = \beta$。
公式：$\eta^* = (2, 1, 0, 2)^T$
提示：特解不唯一，但通常取系数向量作为特解。
步骤 5/6
目标：求齐次方程组的基础解系
齐次方程组 $AX = 0$ 的基础解系包含 $n - r = 4 - 3 = 1$ 个解向量。由 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_4$ 得 $\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 - \alpha_4 = 0$，即 $(1, 1, -1, -1)^T$ 是齐次解。
公式：$\xi = (1, 1, -1, -1)^T$
提示：注意齐次解向量必须非零，且满足 $A\xi = 0$。
步骤 6/6
目标：写出非齐次方程组的通解
非齐次线性方程组的通解等于其一个特解加上齐次方程组的通解，即 $X = \eta^* + k\xi$，其中 $k \in \mathbb{R}$。代入得 $X = \begin{pmatrix}2\\1\\0\\2\end{pmatrix} + k\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix}$。
公式：$X = \begin{pmatrix}2\\1\\0\\2\end{pmatrix} + k\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix},\quad k \in \mathbb{R}$
提示：通解中 $k$ 为任意常数，不要遗漏。
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