中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\displaystyle \alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解矩阵结构
已知 $\alpha \beta^T$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $a_i b_j$，其中 $\alpha = (a_1, a_2, a_3)^T$，$\beta = (b_1, b_2, b_3)^T$。因此矩阵的每一行成比例（比例因子为 $a_i$），每一列也成比例（比例因子为 $b_j$）。
公式：$(\alpha \beta^T)_{ij} = a_i b_j$
提示：注意矩阵的秩为1，所有行（列）成比例。
步骤 2/7
目标：观察矩阵比例关系
已知矩阵 $\alpha \beta^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$。观察第一行元素之比为 $\frac{1}{2} : -\frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1 : -1 : 1$，第二行和第三行也是 $1 : -1 : 1$，所以 $\alpha$ 与 $(1, -1, 1)^T$ 成比例。同样，第一列元素之比为 $\frac{1}{2} : -\frac{1}{3} : \frac{1}{6} = 3 : -2 : 1$，所以 $\beta$ 与 $(3, -2, 1)^T$ 成比例。
提示：比例计算时注意符号，可约去公因子。
步骤 3/7
目标：设出向量形式
设 $\alpha = k (1, -1, 1)^T$，$\beta = l (3, -2, 1)^T$，其中 $k, l$ 为非零常数。
提示：比例系数可以任意非零实数，但需注意符号。
步骤 4/7
目标：计算矩阵乘积
计算 $\alpha \beta^T = k l \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} (3, -2, 1) = k l \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$\alpha \beta^T = k l \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} (3, -2, 1)$
提示：注意矩阵乘法顺序，$\alpha$ 是列向量，$\beta^T$ 是行向量。
步骤 5/7
目标：比较求比例乘积
将所得矩阵与已知矩阵比较，对应元素相等。例如第一行第一列：$k l \cdot 3 = \frac{1}{2}$，解得 $k l = \frac{1}{6}$。
公式：$3kl = \frac{1}{2} \Rightarrow kl = \frac{1}{6}$
提示：只需一个方程即可，因为矩阵所有元素对应成比例。
步骤 6/7
目标：计算内积
所求 $\beta^T \alpha$ 是 $\beta$ 与 $\alpha$ 的内积：$\beta^T \alpha = (l(3, -2, 1)) \cdot (k(1, -1, 1)^T) = kl (3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 1) = kl (3 + 2 + 1) = 6kl$。
公式：$\beta^T \alpha = 6kl$
提示：内积是标量，注意向量点乘时对应分量相乘再求和。
步骤 7/7
目标：代入求解
代入 $kl = \frac{1}{6}$，得 $\beta^T \alpha = 6 \times \frac{1}{6} = 1$。
公式：$\beta^T \alpha = 1$
提示：最终结果是一个数。
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