中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．若 $A$ 是 5 阶实可逆矩阵，则 $A$ 与 $-5 A$ $\_\_\_\_$ （填＂可能＂或＂不可能＂）合同．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解合同的定义
两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同，如果存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = B$。合同关系保持矩阵的惯性指数（正、负特征值的个数）。
提示：注意合同通常针对对称矩阵，题目中 $A$ 是实可逆矩阵，但未说明对称，这里默认 $A$ 是对称的，否则合同概念不适用。
步骤 2/5
目标：分析 $A$ 与 $-5A$ 的惯性指数关系
设 $A$ 是 $5$ 阶实对称可逆矩阵，其正惯性指数为 $p$，负惯性指数为 $q$，则 $p+q=5$。由于 $-5<0$，矩阵 $-5A$ 的正惯性指数等于 $A$ 的负惯性指数 $q$，负惯性指数等于 $A$ 的正惯性指数 $p$。
提示：注意乘以负数会交换正负惯性指数。
步骤 3/5
目标：合同的条件
两个实对称矩阵合同当且仅当它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。因此 $A$ 与 $-5A$ 合同当且仅当 $p = q$ 且 $q = p$，即 $p = q$。
步骤 4/5
目标：判断 $p=q$ 是否可能
由 $p+q=5$，若 $p=q$，则 $2p=5$，$p=2.5$，但 $p$ 必须是整数，矛盾。因此 $p=q$ 不可能成立。
提示：注意惯性指数是整数。
步骤 5/5
目标：得出结论
所以 $A$ 与 $-5A$ 不可能合同。
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