中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $n$ 阶矩阵 $A=-E_{11}-2 E_{22}-3 E_{33}-\cdots-n E_{n n}$ ，则与 $A$ 可交换的矩阵所组成的线性空间的维数为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵A的具体形式
矩阵 $A$ 定义为 $A = -E_{11} - 2E_{22} - 3E_{33} - \cdots - nE_{nn}$，其中 $E_{ii}$ 是第 $i$ 行第 $i$ 列为1，其余为0的矩阵。因此 $A$ 是对角矩阵：$A = \operatorname{diag}(-1, -2, \dots, -n)$。
公式：A = \operatorname{diag}(-1, -2, \dots, -n)
提示：注意 $E_{ii}$ 是基本矩阵，只有 $(i,i)$ 位置为1。
步骤 2/6
目标：分析可交换的条件
设 $B$ 是与 $A$ 可交换的矩阵，即 $AB = BA$。由于 $A$ 是对角矩阵且所有对角元互不相同，根据线性代数定理，与对角矩阵可交换的矩阵必须是对角矩阵。因此 $B$ 是对角矩阵。
公式：AB = BA \Rightarrow B \text{ 是对角矩阵}
提示：当对角元互异时，可交换矩阵必为对角矩阵，这是关键结论。
步骤 3/6
目标：证明可交换矩阵必为对角矩阵
设 $B = (b_{ij})$，计算 $AB$ 和 $BA$ 的 $(i,j)$ 元素：$(AB)_{ij} = a_{ii} b_{ij}$，$(BA)_{ij} = b_{ij} a_{jj}$。由 $AB=BA$ 得 $a_{ii} b_{ij} = b_{ij} a_{jj}$，即 $(a_{ii} - a_{jj}) b_{ij} = 0$。因为 $i \neq j$ 时 $a_{ii} \neq a_{jj}$，所以 $b_{ij}=0$。因此 $B$ 是对角矩阵。
公式：(a_{ii} - a_{jj}) b_{ij} = 0 \Rightarrow b_{ij}=0 \ (i \neq j)
提示：注意 $a_{ii} = -i$，互不相同，所以 $i \neq j$ 时 $a_{ii} - a_{jj} \neq 0$。
步骤 4/6
目标：确定与A可交换的矩阵集合
所有与 $A$ 可交换的矩阵就是所有 $n$ 阶对角矩阵的集合。记作 $\{ \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n) \mid d_i \in \mathbb{R} \}$。
提示：对角矩阵的每个对角元可以独立取任意实数。
步骤 5/6
目标：计算线性空间的维数
所有 $n$ 阶对角矩阵构成一个线性空间，其基为 $\{ E_{11}, E_{22}, \dots, E_{nn} \}$，共有 $n$ 个基向量。因此维数为 $n$。
公式：\dim = n
提示：基向量是 $E_{ii}$，每个对应一个自由参数。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
所以与 $A$ 可交换的矩阵所组成的线性空间的维数为 $n$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。