中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+\lambda x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其元素 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}$（$i\neq j$）为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此，$A=\begin{pmatrix} 2 & \frac{\lambda}{2} & 1 \\ \frac{\lambda}{2} & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$，其中 $A$ 对称。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $\lambda x_1x_2$ 对应 $a_{12}=a_{21}=\lambda/2$。
步骤 2/8
目标：应用正定二次型的判别条件
实二次型正定的充要条件是矩阵的各阶顺序主子式大于0。即 $\Delta_1>0$，$\Delta_2>0$，$\Delta_3>0$。
公式：顺序主子式 $\Delta_k = \det(A_k)$，其中 $A_k$ 是 $A$ 的左上角 $k$ 阶子矩阵。
提示：顺序主子式必须全部大于0，缺一不可。
步骤 3/8
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = a_{11} = 2 > 0$，自动满足。
提示：一阶主子式就是矩阵的第一个对角元，通常为正。
步骤 4/8
目标：计算二阶顺序主子式并解不等式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & \frac{\lambda}{2} \\ \frac{\lambda}{2} & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot 2 - \left(\frac{\lambda}{2}\right)^2 = 4 - \frac{\lambda^2}{4} > 0$。解得 $\lambda^2 < 16$，即 $-4 < \lambda < 4$。
公式：二阶行列式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。
提示：注意 $\lambda^2/4$ 的符号，不等式两边乘以正数4不变号。
步骤 5/8
目标：计算三阶顺序主子式（行列式）
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & \frac{\lambda}{2} & 1 \\ \frac{\lambda}{2} & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$\Delta_3 = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - \frac{\lambda}{2} \begin{vmatrix} \frac{\lambda}{2} & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} \frac{\lambda}{2} & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$。
计算各子式：
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6-1=5$，
$\begin{vmatrix} \frac{\lambda}{2} & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = \frac{3\lambda}{2} - 1$，
$\begin{vmatrix} \frac{\lambda}{2} & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{\lambda}{2} - 2$。
代入得：
$\Delta_3 = 2\cdot5 - \frac{\lambda}{2}\left(\frac{3\lambda}{2}-1\right) + \left(\frac{\lambda}{2}-2\right) = 10 - \frac{3\lambda^2}{4} + \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} - 2 = 8 - \frac{3\lambda^2}{4} + \lambda$。
公式：行列式按行展开公式。
提示：展开时注意符号：第一行元素 $a_{1j}$ 的代数余子式符号为 $(-1)^{1+j}$，这里 $j=1$ 为正，$j=2$ 为负，$j=3$ 为正。
步骤 6/8
目标：化简三阶主子式不等式
要求 $\Delta_3 > 0$，即 $8 - \frac{3\lambda^2}{4} + \lambda > 0$。两边乘以4得 $32 - 3\lambda^2 + 4\lambda > 0$，整理得 $-3\lambda^2 + 4\lambda + 32 > 0$，即 $3\lambda^2 - 4\lambda - 32 < 0$。
公式：不等式两边乘以正数不等号方向不变。
提示：注意移项时符号变化，最终化为二次项系数为正的不等式。
步骤 7/8
目标：解二次不等式并取交集
解方程 $3\lambda^2 - 4\lambda - 32 = 0$，判别式 $\Delta = (-4)^2 - 4\cdot3\cdot(-32) = 16 + 384 = 400$，根为 $\lambda = \frac{4 \pm 20}{6}$，即 $\lambda_1 = 4$，$\lambda_2 = -\frac{8}{3}$。所以不等式 $3\lambda^2 - 4\lambda - 32 < 0$ 的解为 $-\frac{8}{3} < \lambda < 4$。
结合二阶主子式条件 $-4 < \lambda < 4$，取交集得 $-\frac{8}{3} < \lambda < 4$。
公式：二次不等式 $ax^2+bx+c<0$（$a>0$）的解集为两根之间。
提示：注意两根大小：$4 > -8/3$，所以解集为 $(-8/3, 4)$。
步骤 8/8
目标：得出最终取值范围
因此，$\lambda$ 的取值范围是 $(-\frac{8}{3}, 4)$。
提示：最终结果需写成区间形式，注意开闭区间。
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