中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．定义线性变换 $\sigma\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}, x_{1}-x_{3}\right)$ ，则 $\sigma$ 的秩为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出线性变换的矩阵表示
线性变换 $\sigma(x_1, x_2, x_3) = (x_1+3x_2+x_3, x_2+x_3, x_1-x_3)$ 在标准基下的矩阵 $A$ 的列向量是基像的坐标。计算：$\sigma(e_1)=(1,0,1)^T$, $\sigma(e_2)=(3,1,0)^T$, $\sigma(e_3)=(1,1,-1)^T$，所以 $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的列对应基像的坐标，不要混淆行和列。
步骤 2/4
目标：对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形
对 $A$ 进行行变换：
第一步：$r_3 - r_1$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{pmatrix}$。
第二步：$r_3 + 3r_2$ 得 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：进行行变换时，注意每一步只对当前行操作，避免混淆。
步骤 3/4
目标：确定行阶梯形的非零行数
行阶梯形 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 有3个非零行，因此矩阵的秩为3。
提示：非零行是指至少有一个非零元素的行，全零行不计入秩。
步骤 4/4
目标：得出线性变换的秩
线性变换的秩等于其矩阵的秩，所以 $\sigma$ 的秩为3。
提示：线性变换的秩定义为像空间的维数，等于矩阵的秩。
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