中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $A$ 是一个秩为 3 的四阶矩阵，$A$ 的对角元的代数余子式分别为 $1,-2,3,-4$ ，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定矩阵A的行列式为零
已知$A$是四阶矩阵且秩为3，因此$\det(A)=0$。
公式：若$\operatorname{rank}(A)
提示：注意秩为3小于阶数4，行列式必为零。
步骤 2/6
目标：利用伴随矩阵的基本性质
伴随矩阵满足$AA^* = \det(A)I$。由于$\det(A)=0$，有$AA^*=0$。
公式：$AA^* = \det(A)I$
提示：伴随矩阵定义：$A^*$的元素是$A$的代数余子式的转置。
步骤 3/6
目标：分析伴随矩阵的秩
由$AA^*=0$知$A^*$的每一列都是齐次线性方程组$Ax=0$的解。由于$\operatorname{rank}(A)=3$，解空间维数为$4-3=1$，所以$A^*$的列向量线性相关，故$\operatorname{rank}(A^*)\le 1$。又因为$A$有非零的代数余子式（对角元代数余子式不全为零），所以$A^*\neq 0$，因此$\operatorname{rank}(A^*)=1$。
公式：$\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)$
提示：注意：若所有代数余子式为零，则$A^*=0$，但题目给出对角元代数余子式非零，故$A^*$非零。
步骤 4/6
目标：确定伴随矩阵的非零特征值个数
对于秩为1的矩阵，非零特征值个数等于秩，即1个。其余特征值均为0。
公式：非零特征值个数$\leq \operatorname{rank}(A^*)$
提示：秩为1的矩阵最多有一个非零特征值。
步骤 5/6
目标：计算伴随矩阵的迹
伴随矩阵$A^*$的迹等于$A$的对角元代数余子式之和，即$1+(-2)+3+(-4)=-2$。
公式：$\operatorname{tr}(A^*)=\sum_{i=1}^n A_{ii}$，其中$A_{ii}$是$a_{ii}$的代数余子式。
提示：注意：$A^*$的$(i,i)$元是$A$中$a_{ii}$的代数余子式，而非余子式。
步骤 6/6
目标：求出所有特征值
设特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$。已知$\lambda_1$是非零特征值，其余为0。特征值之和等于迹，即$\lambda_1+0+0+0=-2$，所以$\lambda_1=-2$。因此特征值为$-2,0,0,0$。
公式：$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A^*)$
提示：注意：特征值之和等于迹，但迹是代数余子式之和，不是原矩阵的迹。
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