中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
七、（15 分）
设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的正交变换，记
$$
V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明V1和V2是子空间
首先，$V_1 = \{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}$ 是特征值1的特征子空间，因此是子空间。其次，$V_2 = \{\alpha - \sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ 是线性变换 $I-\sigma$ 的像，也是子空间。
提示：注意验证子空间的条件：对加法和数乘封闭。
步骤 2/4
目标：证明V1与V2正交
任取 $\alpha \in V_1$，$\beta \in V_2$，则 $\sigma(\alpha)=\alpha$，且存在 $\gamma \in V$ 使得 $\beta = \gamma - \sigma(\gamma)$。计算内积：
$$\langle \alpha, \beta \rangle = \langle \alpha, \gamma - \sigma(\gamma) \rangle = \langle \alpha, \gamma \rangle - \langle \alpha, \sigma(\gamma) \rangle.$$
由于 $\sigma$ 是正交变换，有 $\langle \alpha, \sigma(\gamma) \rangle = \langle \sigma^{-1}(\alpha), \gamma \rangle$。由 $\sigma(\alpha)=\alpha$ 得 $\sigma^{-1}(\alpha)=\alpha$，所以 $\langle \alpha, \sigma(\gamma) \rangle = \langle \alpha, \gamma \rangle$。因此 $\langle \alpha, \beta \rangle = 0$，即 $V_1 \perp V_2$。
公式：正交变换性质：$\langle \sigma(u), \sigma(v) \rangle = \langle u, v \rangle$，且 $\sigma^{-1}=\sigma^T$。
提示：注意正交变换不一定满足 $\sigma^2=I$，但 $\sigma$ 可逆且保内积。
步骤 3/4
目标：由正交性得V1∩V2={0}
由于 $V_1 \perp V_2$，若 $\beta \in V_1 \cap V_2$，则 $\langle \beta, \beta \rangle = 0$，从而 $\beta = 0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：正交子空间的交只有零向量。
步骤 4/4
目标：证明V=V1+V2
考虑线性变换 $T = I - \sigma$，则 $V_1 = \ker T$，$V_2 = \operatorname{Im} T$。由秩-零化度定理，$\dim \ker T + \dim \operatorname{Im} T = n$。又已证 $\ker T \perp \operatorname{Im} T$，故 $\ker T \cap \operatorname{Im} T = \{0\}$，从而 $V = \ker T \oplus \operatorname{Im} T$，即 $V = V_1 \oplus V_2$。
公式：秩-零化度定理：$\dim \ker T + \dim \operatorname{Im} T = \dim V$。
提示：注意这里 $T$ 是线性变换，且 $\ker T$ 与 $\operatorname{Im} T$ 正交，因此直和成立。
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