中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
三、（10 分）
已知 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维实列向量．
（1）（5 分）证明：齐次线性方程组 $\displaystyle A^{T} A X=0$ 与 $\displaystyle A X=0$ 同解；
（2）（5 分）证明：方程组 $\displaystyle A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必然有解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明AX=0的解都是A^TAX=0的解
若 $AX=0$，则左乘 $A^T$ 得 $A^T A X = 0$，因此 $AX=0$ 的解都是 $A^T A X=0$ 的解。
公式：$A^T A X = A^T (A X) = 0$
提示：注意左乘 $A^T$ 是线性变换，保持零向量。
步骤 2/6
目标：证明A^TAX=0的解都是AX=0的解
若 $A^T A X = 0$，则左乘 $X^T$ 得 $X^T A^T A X = (A X)^T (A X) = \|A X\|^2 = 0$，故 $A X = 0$。因此两个方程组同解。
公式：$(A X)^T (A X) = \|A X\|^2 = 0 \Rightarrow A X = 0$
提示：利用实向量的范数性质：范数为零当且仅当向量为零。
步骤 3/6
目标：将方程组有解问题转化为列空间包含问题
方程组 $A^T A X = A^T \beta$ 有解当且仅当 $A^T \beta$ 属于 $A^T A$ 的列空间 $\mathrm{Col}(A^T A)$。
提示：线性方程组有解的充要条件是右端向量属于系数矩阵的列空间。
步骤 4/6
目标：证明Col(A^TA) ⊆ Col(A^T)
$A^T A$ 的每一列都是 $A^T$ 的列的线性组合，因为 $A^T A$ 的第 $j$ 列是 $A^T$ 乘以 $A$ 的第 $j$ 列，所以 $\mathrm{Col}(A^T A) \subseteq \mathrm{Col}(A^T)$。
公式：$A^T A = A^T [A_{*1}, \dots, A_{*n}] = [A^T A_{*1}, \dots, A^T A_{*n}]$
提示：注意矩阵乘法中列向量的线性组合关系。
步骤 5/6
目标：证明Col(A^T) ⊆ Col(A^TA)（利用正交补）
考虑 $\mathrm{Col}(A^T A)$ 的正交补 $\mathrm{Null}((A^T A)^T) = \mathrm{Null}(A^T A)$。由(1)知 $\mathrm{Null}(A^T A) = \mathrm{Null}(A)$。对任意 $z \in \mathrm{Null}(A)$，有 $(A^T \beta)^T z = \beta^T A z = 0$，故 $A^T \beta \perp \mathrm{Null}(A) = \mathrm{Null}(A^T A)$，因此 $A^T \beta \in \mathrm{Col}(A^T A)$。
公式：$\mathrm{Col}(A^T A) = (\mathrm{Null}(A^T A))^\perp$
提示：利用正交补关系：列空间等于零空间的正交补。
步骤 6/6
目标：结论：方程组必有解
由 $A^T \beta \in \mathrm{Col}(A^T A)$ 知，存在 $X$ 使得 $A^T A X = A^T \beta$，故方程组必有解。
提示：注意证明中使用了(1)的结论。
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