中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
二、（10分）
设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{s}(x), g_{1}(x), g_{2}(x), \cdots, g_{t}(x)$ 均为多项式，证明：$\displaystyle f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{s}(x)$ 与 $\displaystyle g_{1}(x) g_{2}(x) \cdots g_{t}(x)$ 互素的充要条件是对任意 $\displaystyle 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq t$ 都有 $\displaystyle f_{i}(x)$ 与 $\displaystyle g_{j}(x)$ 互素．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确题目条件和目标
已知 $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_s(x), g_1(x), g_2(x), \cdots, g_t(x)$ 均为多项式。需要证明：$F(x) = f_1(x) f_2(x) \cdots f_s(x)$ 与 $G(x) = g_1(x) g_2(x) \cdots g_t(x)$ 互素的充要条件是对任意 $1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq t$ 都有 $f_i(x)$ 与 $g_j(x)$ 互素。
提示：注意互素的定义：两个多项式互素当且仅当它们的最大公因式为常数（非零常数）。
步骤 2/5
目标：证明必要性：假设存在一对不互素，推出矛盾
假设存在某个 $i$ 和 $j$ 使得 $f_i(x)$ 与 $g_j(x)$ 不互素，则存在非常数公因式 $d(x)$ 整除 $f_i(x)$ 和 $g_j(x)$。于是 $d(x)$ 整除 $F(x) = f_1(x)\cdots f_s(x)$ 和 $G(x) = g_1(x)\cdots g_t(x)$，从而 $F(x)$ 与 $G(x)$ 不互素，与条件矛盾。因此必要性成立。
提示：注意：如果 $d(x)$ 整除 $f_i(x)$，则 $d(x)$ 也整除 $F(x)$，因为 $F(x)$ 是 $f_i(x)$ 的倍数。
步骤 3/5
目标：证明充分性：假设乘积不互素，推出存在一对不互素
假设 $F(x)$ 与 $G(x)$ 不互素，则存在非常数公因式 $h(x)$。由于多项式环是唯一分解整环，$h(x)$ 有一个不可约因子 $p(x)$，且 $p(x)$ 整除 $F(x)$ 和 $G(x)$。
提示：不可约多项式在多项式环中类似于素数在整数环中的作用。
步骤 4/5
目标：利用不可约性找到对应的 $f_i$ 和 $g_j$
由于 $p(x)$ 整除 $F(x) = f_1(x)\cdots f_s(x)$，且 $p(x)$ 不可约，根据不可约多项式的性质，$p(x)$ 必整除某个 $f_i(x)$。同理，$p(x)$ 整除某个 $g_j(x)$。于是 $p(x)$ 是 $f_i(x)$ 与 $g_j(x)$ 的公因式，因此 $f_i(x)$ 与 $g_j(x)$ 不互素，与条件矛盾。
提示：注意：不可约多项式整除乘积时，必整除其中一个因子，这是数论中素数性质的推广。
步骤 5/5
目标：总结结论
由必要性和充分性，原命题得证：$F(x)$ 与 $G(x)$ 互素当且仅当所有 $f_i(x)$ 与 $g_j(x)$ 互素。
提示：充要条件的证明需要分别证明两个方向，缺一不可。
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