中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）
设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵，证明：$\displaystyle A-B^{2}$ 可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵，即 $B^T = -B$。需要证明 $A - B^2$ 可逆。
提示：注意实反对称矩阵的定义：$B^T = -B$。
步骤 2/6
目标：转化为证明正定性
要证明 $A - B^2$ 可逆，只需证明它是正定矩阵，即对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x^T (A - B^2) x > 0$。
提示：正定矩阵必可逆，但反之不成立。这里直接证明正定性。
步骤 3/6
目标：展开二次型
对任意非零向量 $x$，计算 $x^T (A - B^2) x = x^T A x - x^T B^2 x$。
公式：$x^T (A - B^2) x = x^T A x - x^T B^2 x$
提示：注意矩阵乘法的顺序。
步骤 4/6
目标：利用A的正定性
由于 $A$ 正定，有 $x^T A x > 0$。
公式：$x^T A x > 0$
提示：正定矩阵的定义：对任意非零向量，二次型大于零。
步骤 5/6
目标：化简B^2的二次型
利用 $B$ 的反对称性：$B^2 = -B^T B$，因为 $B^T = -B$，所以 $B^2 = -B^T B$。于是 $x^T B^2 x = x^T (-B^T B) x = - (Bx)^T (Bx) = -\|Bx\|^2 \leq 0$。
公式：$B^2 = -B^T B$
提示：注意 $B^T B$ 是半正定矩阵，因此 $x^T B^2 x \leq 0$。
步骤 6/6
目标：合并得到正定性
因此 $x^T (A - B^2) x = x^T A x - x^T B^2 x \geq x^T A x > 0$，所以 $A - B^2$ 是正定矩阵，从而可逆。
提示：注意不等号方向：减去一个非正数相当于加上一个非负数。
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