中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
八、（20分）
已知 $A$ 是 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且 $\displaystyle A^{*}=A^{2}-2 A-E,|A|=-2$ ．
（1）（5 分）证明：$A$ 可相似对角化；
（2）（12 分）求 $\displaystyle n=3,4,5,6$ 时，$A$ 的相似对角形；
（3）（3分）求 $A$ 的迹（用 $n$ 表示）。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用伴随矩阵性质建立方程
已知 $A^* = A^2 - 2A - E$，且 $|A| = -2$。由伴随矩阵性质 $AA^* = |A|E$，代入得 $A(A^2 - 2A - E) = -2E$，即 $A^3 - 2A^2 - A + 2E = 0$。
公式：AA^* = |A|E
提示：注意伴随矩阵的性质：$AA^* = A^*A = |A|E$，不要混淆左右乘的顺序。
步骤 2/6
目标：因式分解矩阵多项式
将 $A^3 - 2A^2 - A + 2E = 0$ 因式分解：$(A - E)(A^2 - A - 2E) = 0$，进一步分解 $A^2 - A - 2E = (A - 2E)(A + E)$，得到 $(A - E)(A - 2E)(A + E) = 0$。
提示：因式分解时注意矩阵乘法不交换，但这里多项式因式分解对矩阵成立，因为各因子可交换。
步骤 3/6
目标：证明可相似对角化
由 $(A - E)(A - 2E)(A + E) = 0$ 知 $A$ 的最小多项式 $m(\lambda)$ 整除 $(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+1)$，即 $m(\lambda)$ 无重根，故 $A$ 可相似对角化。
公式：最小多项式无重根 $\Leftrightarrow$ 矩阵可对角化
提示：注意：最小多项式无重根是可对角化的充要条件，但这里只需说明最小多项式是三个一次因式的乘积，故无重根。
步骤 4/6
目标：确定特征值及其重数
由 $|A| = -2$ 知特征值乘积为 $-2$。特征值只能取自 $\{1,2,-1\}$。设 $1,2,-1$ 的重数分别为 $a,b,c$，则 $a+b+c=n$，且 $1^a \cdot 2^b \cdot (-1)^c = -2$，即 $2^b \cdot (-1)^c = -2$。若 $c$ 为奇数，则 $2^b = 2$，得 $b=1,c=1$，$a=n-2$；若 $c$ 为偶数，则 $2^b = -2$，无解。故 $b=1,c=1,a=n-2$。
公式：|A| = \prod \lambda_i
提示：注意 $(-1)^c$ 的符号：当 $c$ 为奇数时 $(-1)^c = -1$，偶数时为 $1$。
步骤 5/6
目标：写出相似对角形
因此 $A$ 的相似对角形为 $\operatorname{diag}(1,\dots,1,2,-1)$，其中 $1$ 出现 $n-2$ 次。对于 $n=3,4,5,6$：
- $n=3$：$\operatorname{diag}(1,2,-1)$
- $n=4$：$\operatorname{diag}(1,1,2,-1)$
- $n=5$：$\operatorname{diag}(1,1,1,2,-1)$
- $n=6$：$\operatorname{diag}(1,1,1,1,2,-1)$
提示：注意对角矩阵中特征值的顺序无关紧要，但通常按重数排列。
步骤 6/6
目标：计算矩阵的迹
迹等于特征值之和：$\operatorname{tr}(A) = 1 \cdot (n-2) + 2 + (-1) = n-2 + 1 = n-1$。
公式：\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i
提示：迹是特征值之和，与对角化后的对角矩阵对角线元素之和相同。
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