中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
六、（15 分）
设 $\displaystyle A, B, C, D$ 是数域 $P$ 上两两可交换的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，记
$$
V=\left\{X \in P^{n} \mid A B X=0\right\}, \quad V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}, \quad V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\} .
$$
证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确子空间包含关系
首先，由定义 $V_1 = \{X \in P^n \mid AX=0\}$ 和 $V_2 = \{X \in P^n \mid BX=0\}$，显然 $V_1 \subseteq V$ 和 $V_2 \subseteq V$，因为若 $AX=0$ 或 $BX=0$，则 $ABX=0$。所以 $V_1 + V_2 \subseteq V$。
提示：注意 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，但需要验证包含关系。
步骤 2/7
目标：证明 $V \subseteq V_1 + V_2$
任取 $X \in V$，即 $ABX=0$。由条件 $AC+BD=E$，两边右乘 $X$ 得 $ACX + BDX = X$。由于 $A,B,C,D$ 两两可交换，且 $ABX=0$，我们有 $A(BX)=0$ 和 $B(AX)=0$。
公式：$AC+BD=E$
提示：注意可交换性的使用：$AB=BA$ 等。
步骤 3/7
目标：构造 $X_1$ 和 $X_2$
令 $X_1 = B(DX)$，$X_2 = A(CX)$，则 $X = X_1 + X_2$。
提示：注意 $X_1$ 和 $X_2$ 的定义来自 $X = A(CX) + B(DX)$。
步骤 4/7
目标：验证 $X_1 \in V_1$
计算 $AX_1 = A(B(DX)) = (AB)(DX) = D(ABX) = 0$，因为 $ABX=0$ 且可交换。所以 $X_1 \in V_1$。
公式：$ABX=0$
提示：注意交换顺序：$A(B(DX)) = (AB)(DX)$ 需要可交换性。
步骤 5/7
目标：验证 $X_2 \in V_2$
计算 $BX_2 = B(A(CX)) = (BA)(CX) = (AB)(CX) = C(ABX) = 0$，所以 $X_2 \in V_2$。
公式：$ABX=0$
提示：同样需要可交换性：$BA=AB$。
步骤 6/7
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
任取 $X \in V_1 \cap V_2$，则 $AX=0$ 且 $BX=0$。由 $AC+BD=E$ 得 $X = (AC+BD)X = A(CX) + B(DX) = 0 + 0 = 0$，所以 $X=0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$AC+BD=E$
提示：注意 $A(CX)=C(AX)=0$ 和 $B(DX)=D(BX)=0$ 需要可交换性。
步骤 7/7
目标：结论
综上，$V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要满足 $V = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。