中国矿业大学徐州 2026年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）
设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 可逆，证明：$\displaystyle A, B$ 的秩相同．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别幂等矩阵性质
由 $A^2 = A$ 和 $B^2 = B$ 知 $A, B$ 都是幂等矩阵。幂等矩阵的特征值只能是 $0$ 或 $1$，且秩等于迹（因为特征值之和等于迹，且特征值非0即1）。
公式：$A^2 = A$, $B^2 = B$
提示：注意幂等矩阵的特征值只有0和1，且秩等于迹。
步骤 2/7
目标：利用可逆条件进行变换
已知 $E - A - B$ 可逆，即存在矩阵 $C$ 使得 $(E - A - B)C = E$。
公式：$(E - A - B)C = E$
提示：可逆矩阵的定义：存在逆矩阵使得乘积为单位阵。
步骤 3/7
目标：推导 $A(E-A-B) = -AB$
计算 $A(E - A - B) = A - A^2 - AB = A - A - AB = -AB$。
公式：$A(E - A - B) = -AB$
提示：注意 $A^2 = A$，所以 $A - A^2 = 0$。
步骤 4/7
目标：推导 $(E-A-B)B = -AB$
计算 $(E - A - B)B = B - AB - B^2 = B - AB - B = -AB$。
公式：$(E - A - B)B = -AB$
提示：注意 $B^2 = B$，所以 $B - B^2 = 0$。
步骤 5/7
目标：建立等式并利用可逆性
由前两步得 $A(E - A - B) = (E - A - B)B$。由于 $E - A - B$ 可逆，两边右乘 $(E - A - B)^{-1}$ 得 $A = (E - A - B)B(E - A - B)^{-1}$。
公式：$A = (E - A - B)B(E - A - B)^{-1}$
提示：右乘逆矩阵时注意顺序：$X = Y$ 则 $X Z^{-1} = Y Z^{-1}$。
步骤 6/7
目标：得出相似结论
由 $A = (E - A - B)B(E - A - B)^{-1}$ 知 $A$ 与 $B$ 相似。
提示：相似定义：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P B P^{-1}$。
步骤 7/7
目标：利用相似矩阵秩相等
相似矩阵有相同的秩，故 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$
提示：相似变换不改变秩。
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