中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．多项式 $x^{3}+4 x^{2}+7 x+12$ 的有理根为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定有理根的可能取值
根据有理根定理，多项式 $x^{3}+4x^{2}+7x+12$ 的有理根可能为常数项12的因数除以首项系数1的因数，即 $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$。
公式：有理根定理：若 $p/q$ 是整系数多项式 $a_n x^n + \cdots + a_0$ 的有理根，则 $p$ 整除 $a_0$，$q$ 整除 $a_n$。
提示：注意首项系数为1时，有理根必为整数，且是常数项的因数。
步骤 2/5
目标：代入验证可能的根
从可能的根中依次代入多项式验证。先代入 $x=-3$：计算 $(-3)^3 + 4 \cdot (-3)^2 + 7 \cdot (-3) + 12 = -27 + 36 - 21 + 12 = 0$，因此 $x=-3$ 是多项式的一个根。
提示：代入计算时注意符号，特别是负数的奇次幂为负。
步骤 3/5
目标：多项式除法或因式分解
由于 $x=-3$ 是根，多项式可被 $x+3$ 整除。使用多项式除法：$(x^3+4x^2+7x+12) \div (x+3)$ 得到商 $x^2+x+4$。
公式：多项式除法：$f(x) = (x+3)(x^2+x+4)$
提示：除法过程要仔细，注意系数对齐。
步骤 4/5
目标：求解二次因式的根
解二次方程 $x^2+x+4=0$，判别式 $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 < 0$，因此无实根，也无有理根。
公式：判别式 $\Delta = b^2-4ac$
提示：判别式小于0时，二次方程无实根，更无有理根。
步骤 5/5
目标：总结有理根
多项式只有唯一的有理根 $x=-3$，其余根为虚根。
提示：注意有理根必须是实数且为有理数。
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