中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．已知 $A$ 是奇数阶正交矩阵，且 $|A|=1$ ，则 1 $\_\_\_\_$ （填＂一定＂或＂不一定＂）是 $A$ 的特征值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件
已知 $A$ 是奇数阶正交矩阵，且行列式 $|A|=1$。需要判断 $1$ 是否一定是 $A$ 的特征值。
提示：注意正交矩阵的定义：$A^T A = I$，且 $|A| = \pm 1$。
步骤 2/7
目标：建立特征多项式
考虑特征多项式 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$。要判断 $1$ 是否为特征值，即判断 $f(1) = \det(I - A)$ 是否为零。
公式：$f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$
提示：特征值满足 $\det(\lambda I - A)=0$。
步骤 3/7
目标：利用正交性变换
由于 $A$ 正交，有 $A^T A = I$，且 $|A|=1$。计算 $\det(I - A)$ 时，可乘以 $\det(A^T)$：$\det(I - A) = \det(A^T) \det(I - A) = \det(A^T (I - A))$。
公式：$\det(I - A) = \det(A^T) \det(I - A)$
提示：注意 $\det(A^T) = \det(A) = 1$，但这里先保留形式。
步骤 4/7
目标：化简矩阵乘积
计算 $A^T (I - A) = A^T I - A^T A = A^T - I$。因此 $\det(I - A) = \det(A^T - I)$。
公式：$A^T (I - A) = A^T - I$
提示：注意 $A^T A = I$。
步骤 5/7
目标：转置行列式性质
由于 $\det(A^T - I) = \det((A - I)^T) = \det(A - I)$，而 $\det(A - I) = \det(-(I - A)) = (-1)^n \det(I - A)$，其中 $n$ 为矩阵阶数。
公式：$\det(A - I) = (-1)^n \det(I - A)$
提示：注意 $A - I = -(I - A)$，行列式提取因子 $(-1)^n$。
步骤 6/7
目标：联立方程求解
由前几步得 $\det(I - A) = \det(A - I) = (-1)^n \det(I - A)$。因为 $n$ 是奇数，$(-1)^n = -1$，所以 $\det(I - A) = -\det(I - A)$，即 $2\det(I - A)=0$，故 $\det(I - A)=0$。
公式：$\det(I - A) = -\det(I - A) \Rightarrow \det(I - A)=0$
提示：注意 $n$ 为奇数这一条件，否则结论不成立。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于 $\det(I - A)=0$，所以 $1$ 是 $A$ 的特征值。因此填“一定”。
提示：结论依赖于 $n$ 为奇数且 $|A|=1$。
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