中国矿业大学(北京) 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件与特征值的关系
已知 $|E+A|=0$，$|E+2A|=0$，$|E-3A|=0$。由于 $E$ 是单位矩阵，$|E+kA|=0$ 意味着 $-1/k$ 是 $A$ 的特征值（当 $k \neq 0$）。因为 $|E+kA| = |kA - (-E)| = k^n |A - (-1/k)E|$，所以 $|A - (-1/k)E|=0$，即 $-1/k$ 是 $A$ 的特征值。
公式：|E+kA|=0 ⇒ -1/k 是 A 的特征值
提示：注意 $k$ 不能为零，且 $n$ 是矩阵阶数。
步骤 2/5
目标：确定 A 的特征值
由 $|E+A|=0$ 得 $k=1$，所以 $-1/1=-1$ 是 $A$ 的特征值。由 $|E+2A|=0$ 得 $k=2$，所以 $-1/2$ 是 $A$ 的特征值。由 $|E-3A|=0$ 得 $k=-3$，所以 $-1/(-3)=1/3$ 是 $A$ 的特征值。由于 $A$ 是3阶实方阵，恰好有三个特征值（计重数），因此 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-1$，$\lambda_2=-\frac{1}{2}$，$\lambda_3=\frac{1}{3}$。
提示：注意第三个条件中 $k=-3$，不要误以为 $k=3$。
步骤 3/5
目标：推导 E+6A 的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $1+6\lambda$ 是 $E+6A$ 的特征值。因为 $E+6A$ 的多项式形式，特征值映射为 $f(\lambda)=1+6\lambda$。
公式：若 λ 是 A 的特征值，则 f(λ) 是 f(A) 的特征值
提示：注意多项式函数作用于矩阵时，特征值对应变换。
步骤 4/5
目标：计算 E+6A 的特征值
将 $A$ 的特征值代入 $f(\lambda)=1+6\lambda$：
- 对于 $\lambda_1=-1$：$1+6\times(-1) = -5$
- 对于 $\lambda_2=-\frac{1}{2}$：$1+6\times(-\frac{1}{2}) = 1-3 = -2$
- 对于 $\lambda_3=\frac{1}{3}$：$1+6\times\frac{1}{3} = 1+2 = 3$
因此 $E+6A$ 的特征值为 $-5$，$-2$，$3$。
提示：计算时注意符号和分数运算。
步骤 5/5
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积（计重数）。由于 $E+6A$ 是3阶矩阵，其特征值为 $-5$，$-2$，$3$，所以 $|E+6A| = (-5) \times (-2) \times 3 = 30$。
公式：|B| = ∏ λ_i (B 的特征值)
提示：注意特征值乘积时符号的处理。
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